Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58573 / 87922
↖ ↑ ↗
← S 52.244620°
W 19.124451°		 ← 186.97 m → S 52.244620°
W 19.121704°		 →
↑
186.99 m
↓
↑
186.99 m
↓
S 52.246301°
W 19.124451°		 ← 186.96 m →
34 961 m²		 S 52.246301°
W 19.121704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446880340576172 y=0.670795440673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446880340576172 × 217)
    floor (0.446880340576172 × 131072)
    floor (58573.5)     		tx = 58573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670795440673828 × 217)
    floor (0.670795440673828 × 131072)
    floor (87922.5)     		ty = 87922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58573 / 87922 ti = "17/58573/87922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58573/87922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58573 ÷ 217
    58573 ÷ 131072     		x = 0.446876525878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87922 ÷ 217
    87922 ÷ 131072     		y = 0.670791625976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446876525878906 × 2 - 1) × π
    -0.106246948242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.33378463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670791625976562 × 2 - 1) × π
    -0.341583251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.07311543489458
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33378463} λ = -0.33378463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07311543489458))-π/2
    2×atan(0.341941559596204)-π/2
    2×0.329477848342282-π/2
    0.658955696684564-1.57079632675     		φ = -0.91184063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33378463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.124451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91184063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.244620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58573 KachelY 87922 -0.33378463 -0.91184063 -19.124451 -52.244620
    Oben rechts KachelX + 1 58574 KachelY 87922 -0.33373670 -0.91184063 -19.121704 -52.244620
    Unten links KachelX 58573 KachelY + 1 87923 -0.33378463 -0.91186998 -19.124451 -52.246301
    Unten rechts KachelX + 1 58574 KachelY + 1 87923 -0.33373670 -0.91186998 -19.121704 -52.246301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91184063--0.91186998) × R
    2.9349999999928e-05 × 6371000     		dl = 186.988849999542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91184063--0.91186998) × R
    2.9349999999928e-05 × 6371000     		dr = 186.988849999542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33378463--0.33373670) × cos(-0.91184063) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.612291526380884 × 6371000     		do = 186.97058344758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33378463--0.33373670) × cos(-0.91186998) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.612268321065604 × 6371000     		du = 186.963497425399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91184063)-sin(-0.91186998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612291526380884-0.612268321065604)×R²
    abs(-0.33373670--0.33378463)×2.3205315280217e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3205315280217e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3205315280217e-05×40589641000000     		ar = 34960.7518814204m²