Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58573 / 87914
↖ ↑ ↗
← S 52.231164°
W 19.124451°		 ← 187.03 m → S 52.231164°
W 19.121704°		 →
↑
187.05 m
↓
↑
187.05 m
↓
S 52.232846°
W 19.124451°		 ← 187.02 m →
34 983 m²		 S 52.232846°
W 19.121704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446880340576172 y=0.670734405517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446880340576172 × 217)
    floor (0.446880340576172 × 131072)
    floor (58573.5)     		tx = 58573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670734405517578 × 217)
    floor (0.670734405517578 × 131072)
    floor (87914.5)     		ty = 87914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58573 / 87914 ti = "17/58573/87914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58573/87914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58573 ÷ 217
    58573 ÷ 131072     		x = 0.446876525878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87914 ÷ 217
    87914 ÷ 131072     		y = 0.670730590820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446876525878906 × 2 - 1) × π
    -0.106246948242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.33378463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670730590820312 × 2 - 1) × π
    -0.341461181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.07273193969762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33378463} λ = -0.33378463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07273193969762))-π/2
    2×atan(0.342072717689592)-π/2
    2×0.329595271571613-π/2
    0.659190543143227-1.57079632675     		φ = -0.91160578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33378463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.124451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91160578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.231164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58573 KachelY 87914 -0.33378463 -0.91160578 -19.124451 -52.231164
    Oben rechts KachelX + 1 58574 KachelY 87914 -0.33373670 -0.91160578 -19.121704 -52.231164
    Unten links KachelX 58573 KachelY + 1 87915 -0.33378463 -0.91163514 -19.124451 -52.232846
    Unten rechts KachelX + 1 58574 KachelY + 1 87915 -0.33373670 -0.91163514 -19.121704 -52.232846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91160578--0.91163514) × R
    2.93599999999783e-05 × 6371000     		dl = 187.052559999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91160578--0.91163514) × R
    2.93599999999783e-05 × 6371000     		dr = 187.052559999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33378463--0.33373670) × cos(-0.91160578) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.61247718943796 × 6371000     		do = 187.027277895585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33378463--0.33373670) × cos(-0.91163514) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.612453980438609 × 6371000     		du = 187.020190748429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91160578)-sin(-0.91163514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61247718943796-0.612453980438609)×R²
    abs(-0.33373670--0.33378463)×2.32089993505991e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32089993505991e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32089993505991e-05×40589641000000     		ar = 34983.2682881137m²