Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58573 / 87871
↖ ↑ ↗
← S 52.158769°
W 19.124451°		 ← 187.33 m → S 52.158769°
W 19.121704°		 →
↑
187.37 m
↓
↑
187.37 m
↓
S 52.160454°
W 19.124451°		 ← 187.33 m →
35 100 m²		 S 52.160454°
W 19.121704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446880340576172 y=0.670406341552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446880340576172 × 217)
    floor (0.446880340576172 × 131072)
    floor (58573.5)     		tx = 58573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670406341552734 × 217)
    floor (0.670406341552734 × 131072)
    floor (87871.5)     		ty = 87871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58573 / 87871 ti = "17/58573/87871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58573/87871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58573 ÷ 217
    58573 ÷ 131072     		x = 0.446876525878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87871 ÷ 217
    87871 ÷ 131072     		y = 0.670402526855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446876525878906 × 2 - 1) × π
    -0.106246948242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.33378463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670402526855469 × 2 - 1) × π
    -0.340805053710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.07067065301395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33378463} λ = -0.33378463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07067065301395))-π/2
    2×atan(0.342778554843854)-π/2
    2×0.330227031500342-π/2
    0.660454063000685-1.57079632675     		φ = -0.91034226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33378463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.124451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91034226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.158769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58573 KachelY 87871 -0.33378463 -0.91034226 -19.124451 -52.158769
    Oben rechts KachelX + 1 58574 KachelY 87871 -0.33373670 -0.91034226 -19.121704 -52.158769
    Unten links KachelX 58573 KachelY + 1 87872 -0.33378463 -0.91037167 -19.124451 -52.160454
    Unten rechts KachelX + 1 58574 KachelY + 1 87872 -0.33373670 -0.91037167 -19.121704 -52.160454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91034226--0.91037167) × R
    2.94100000000075e-05 × 6371000     		dl = 187.371110000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91034226--0.91037167) × R
    2.94100000000075e-05 × 6371000     		dr = 187.371110000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33378463--0.33373670) × cos(-0.91034226) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.613475497996467 × 6371000     		do = 187.332123423577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33378463--0.33373670) × cos(-0.91037167) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.613452272249651 × 6371000     		du = 187.325031162381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91034226)-sin(-0.91037167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613475497996467-0.613452272249651)×R²
    abs(-0.33373670--0.33378463)×2.32257468159025e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32257468159025e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32257468159025e-05×40589641000000     		ar = 35099.9634647235m²