Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58573 / 87855
↖ ↑ ↗
← S 52.131802°
W 19.124451°		 ← 187.45 m → S 52.131802°
W 19.121704°		 →
↑
187.50 m
↓
↑
187.50 m
↓
S 52.133488°
W 19.124451°		 ← 187.44 m →
35 145 m²		 S 52.133488°
W 19.121704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446880340576172 y=0.670284271240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446880340576172 × 217)
    floor (0.446880340576172 × 131072)
    floor (58573.5)     		tx = 58573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670284271240234 × 217)
    floor (0.670284271240234 × 131072)
    floor (87855.5)     		ty = 87855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58573 / 87855 ti = "17/58573/87855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58573/87855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58573 ÷ 217
    58573 ÷ 131072     		x = 0.446876525878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87855 ÷ 217
    87855 ÷ 131072     		y = 0.670280456542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446876525878906 × 2 - 1) × π
    -0.106246948242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.33378463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670280456542969 × 2 - 1) × π
    -0.340560913085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.06990366262003
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33378463} λ = -0.33378463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06990366262003))-π/2
    2×atan(0.343041563552344)-π/2
    2×0.330462367662141-π/2
    0.660924735324283-1.57079632675     		φ = -0.90987159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33378463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.124451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90987159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.131802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58573 KachelY 87855 -0.33378463 -0.90987159 -19.124451 -52.131802
    Oben rechts KachelX + 1 58574 KachelY 87855 -0.33373670 -0.90987159 -19.121704 -52.131802
    Unten links KachelX 58573 KachelY + 1 87856 -0.33378463 -0.90990102 -19.124451 -52.133488
    Unten rechts KachelX + 1 58574 KachelY + 1 87856 -0.33373670 -0.90990102 -19.121704 -52.133488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90987159--0.90990102) × R
    2.9429999999997e-05 × 6371000     		dl = 187.498529999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90987159--0.90990102) × R
    2.9429999999997e-05 × 6371000     		dr = 187.498529999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33378463--0.33373670) × cos(-0.90987159) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.61384712460368 × 6371000     		do = 187.445604078758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33378463--0.33373670) × cos(-0.90990102) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.613823891562393 × 6371000     		du = 187.438509590107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90987159)-sin(-0.90990102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61384712460368-0.613823891562393)×R²
    abs(-0.33373670--0.33378463)×2.32330412878179e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32330412878179e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32330412878179e-05×40589641000000     		ar = 35145.1101191083m²