Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58572 / 87842
↖ ↑ ↗
← S 52.109879°
W 19.127197°		 ← 187.58 m → S 52.109879°
W 19.124451°		 →
↑
187.56 m
↓
↑
187.56 m
↓
S 52.111566°
W 19.127197°		 ← 187.57 m →
35 182 m²		 S 52.111566°
W 19.124451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446872711181641 y=0.670185089111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446872711181641 × 217)
    floor (0.446872711181641 × 131072)
    floor (58572.5)     		tx = 58572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670185089111328 × 217)
    floor (0.670185089111328 × 131072)
    floor (87842.5)     		ty = 87842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58572 / 87842 ti = "17/58572/87842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58572/87842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58572 ÷ 217
    58572 ÷ 131072     		x = 0.446868896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87842 ÷ 217
    87842 ÷ 131072     		y = 0.670181274414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446868896484375 × 2 - 1) × π
    -0.10626220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33383257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670181274414062 × 2 - 1) × π
    -0.340362548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.06928048292497
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33383257} λ = -0.33383257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06928048292497))-π/2
    2×atan(0.34325540671375)-π/2
    2×0.33065368324441-π/2
    0.66130736648882-1.57079632675     		φ = -0.90948896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33383257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.127197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90948896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.109879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58572 KachelY 87842 -0.33383257 -0.90948896 -19.127197 -52.109879
    Oben rechts KachelX + 1 58573 KachelY 87842 -0.33378463 -0.90948896 -19.124451 -52.109879
    Unten links KachelX 58572 KachelY + 1 87843 -0.33383257 -0.90951840 -19.127197 -52.111566
    Unten rechts KachelX + 1 58573 KachelY + 1 87843 -0.33378463 -0.90951840 -19.124451 -52.111566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90948896--0.90951840) × R
    2.94399999999362e-05 × 6371000     		dl = 187.562239999593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90948896--0.90951840) × R
    2.94399999999362e-05 × 6371000     		dr = 187.562239999593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33383257--0.33378463) × cos(-0.90948896) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.614149137318885 × 6371000     		do = 187.576954735859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33383257--0.33378463) × cos(-0.90951840) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.614125903299497 × 6371000     		du = 187.569858468294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90948896)-sin(-0.90951840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614149137318885-0.614125903299497)×R²
    abs(-0.33378463--0.33383257)×2.32340193885294e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32340193885294e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32340193885294e-05×40589641000000     		ar = 35181.6883091813m²