Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58571 / 87899
↖ ↑ ↗
← S 52.205923°
W 19.129944°		 ← 187.17 m → S 52.205923°
W 19.127197°		 →
↑
187.18 m
↓
↑
187.18 m
↓
S 52.207607°
W 19.129944°		 ← 187.17 m →
35 034 m²		 S 52.207607°
W 19.127197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446865081787109 y=0.670619964599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446865081787109 × 217)
    floor (0.446865081787109 × 131072)
    floor (58571.5)     		tx = 58571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670619964599609 × 217)
    floor (0.670619964599609 × 131072)
    floor (87899.5)     		ty = 87899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58571 / 87899 ti = "17/58571/87899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58571/87899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58571 ÷ 217
    58571 ÷ 131072     		x = 0.446861267089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87899 ÷ 217
    87899 ÷ 131072     		y = 0.670616149902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446861267089844 × 2 - 1) × π
    -0.106277465820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.33388051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670616149902344 × 2 - 1) × π
    -0.341232299804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.07201288620332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33388051} λ = -0.33388051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07201288620332))-π/2
    2×atan(0.342318774726036)-π/2
    2×0.329815536088691-π/2
    0.659631072177382-1.57079632675     		φ = -0.91116525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33388051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.129944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91116525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.205923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58571 KachelY 87899 -0.33388051 -0.91116525 -19.129944 -52.205923
    Oben rechts KachelX + 1 58572 KachelY 87899 -0.33383257 -0.91116525 -19.127197 -52.205923
    Unten links KachelX 58571 KachelY + 1 87900 -0.33388051 -0.91119463 -19.129944 -52.207607
    Unten rechts KachelX + 1 58572 KachelY + 1 87900 -0.33383257 -0.91119463 -19.127197 -52.207607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91116525--0.91119463) × R
    2.93799999999678e-05 × 6371000     		dl = 187.179979999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91116525--0.91119463) × R
    2.93799999999678e-05 × 6371000     		dr = 187.179979999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33388051--0.33383257) × cos(-0.91116525) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.612825363790065 × 6371000     		do = 187.172640226444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33388051--0.33383257) × cos(-0.91119463) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.612802146909845 × 6371000     		du = 187.165549193622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91116525)-sin(-0.91119463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612825363790065-0.612802146909845)×R²
    abs(-0.33383257--0.33388051)×2.32168802203336e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32168802203336e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32168802203336e-05×40589641000000     		ar = 35034.3074069924m²