Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58571 / 87895
↖ ↑ ↗
← S 52.199190°
W 19.129944°		 ← 187.20 m → S 52.199190°
W 19.127197°		 →
↑
187.18 m
↓
↑
187.18 m
↓
S 52.200874°
W 19.129944°		 ← 187.19 m →
35 040 m²		 S 52.200874°
W 19.127197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446865081787109 y=0.670589447021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446865081787109 × 217)
    floor (0.446865081787109 × 131072)
    floor (58571.5)     		tx = 58571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670589447021484 × 217)
    floor (0.670589447021484 × 131072)
    floor (87895.5)     		ty = 87895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58571 / 87895 ti = "17/58571/87895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58571/87895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58571 ÷ 217
    58571 ÷ 131072     		x = 0.446861267089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87895 ÷ 217
    87895 ÷ 131072     		y = 0.670585632324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446861267089844 × 2 - 1) × π
    -0.106277465820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.33388051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670585632324219 × 2 - 1) × π
    -0.341171264648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.07182113860484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33388051} λ = -0.33388051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07182113860484))-π/2
    2×atan(0.342384419822448)-π/2
    2×0.329874294435596-π/2
    0.659748588871191-1.57079632675     		φ = -0.91104774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33388051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.129944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91104774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.199190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58571 KachelY 87895 -0.33388051 -0.91104774 -19.129944 -52.199190
    Oben rechts KachelX + 1 58572 KachelY 87895 -0.33383257 -0.91104774 -19.127197 -52.199190
    Unten links KachelX 58571 KachelY + 1 87896 -0.33388051 -0.91107712 -19.129944 -52.200874
    Unten rechts KachelX + 1 58572 KachelY + 1 87896 -0.33383257 -0.91107712 -19.127197 -52.200874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91104774--0.91107712) × R
    2.93799999999678e-05 × 6371000     		dl = 187.179979999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91104774--0.91107712) × R
    2.93799999999678e-05 × 6371000     		dr = 187.179979999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33388051--0.33383257) × cos(-0.91104774) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.61291821811947 × 6371000     		do = 187.201000328715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33388051--0.33383257) × cos(-0.91107712) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.612895003355115 × 6371000     		du = 187.193909942132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91104774)-sin(-0.91107712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61291821811947-0.612895003355115)×R²
    abs(-0.33383257--0.33388051)×2.32147643550729e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32147643550729e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32147643550729e-05×40589641000000     		ar = 35039.6159109052m²