Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58568 / 87170
↖ ↑ ↗
← S 50.961887°
W 19.138184°		 ← 192.37 m → S 50.961887°
W 19.135437°		 →
↑
192.34 m
↓
↑
192.34 m
↓
S 50.963617°
W 19.138184°		 ← 192.36 m →
37 000 m²		 S 50.963617°
W 19.135437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446842193603516 y=0.665058135986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446842193603516 × 217)
    floor (0.446842193603516 × 131072)
    floor (58568.5)     		tx = 58568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665058135986328 × 217)
    floor (0.665058135986328 × 131072)
    floor (87170.5)     		ty = 87170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58568 / 87170 ti = "17/58568/87170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58568/87170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58568 ÷ 217
    58568 ÷ 131072     		x = 0.44683837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87170 ÷ 217
    87170 ÷ 131072     		y = 0.665054321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44683837890625 × 2 - 1) × π
    -0.1063232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33402432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665054321289062 × 2 - 1) × π
    -0.330108642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03706688638029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33402432} λ = -0.33402432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03706688638029))-π/2
    2×atan(0.354492926600784)-π/2
    2×0.340671805859937-π/2
    0.681343611719874-1.57079632675     		φ = -0.88945272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33402432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.138184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88945272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.961887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58568 KachelY 87170 -0.33402432 -0.88945272 -19.138184 -50.961887
    Oben rechts KachelX + 1 58569 KachelY 87170 -0.33397638 -0.88945272 -19.135437 -50.961887
    Unten links KachelX 58568 KachelY + 1 87171 -0.33402432 -0.88948291 -19.138184 -50.963617
    Unten rechts KachelX + 1 58569 KachelY + 1 87171 -0.33397638 -0.88948291 -19.135437 -50.963617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88945272--0.88948291) × R
    3.0190000000041e-05 × 6371000     		dl = 192.340490000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88945272--0.88948291) × R
    3.0190000000041e-05 × 6371000     		dr = 192.340490000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33402432--0.33397638) × cos(-0.88945272) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.629837208119159 × 6371000     		do = 192.368495369202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33402432--0.33397638) × cos(-0.88948291) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.629813758438976 × 6371000     		du = 192.361333233279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88945272)-sin(-0.88948291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629837208119159-0.629813758438976)×R²
    abs(-0.33397638--0.33402432)×2.34496801829742e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34496801829742e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34496801829742e-05×40589641000000     		ar = 36999.5618783757m²