Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58567 / 89445
↖ ↑ ↗
← S 54.732550°
W 19.140930°		 ← 176.31 m → S 54.732550°
W 19.138184°		 →
↑
176.35 m
↓
↑
176.35 m
↓
S 54.734136°
W 19.140930°		 ← 176.31 m →
31 092 m²		 S 54.734136°
W 19.138184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446834564208984 y=0.682415008544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446834564208984 × 217)
    floor (0.446834564208984 × 131072)
    floor (58567.5)     		tx = 58567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682415008544922 × 217)
    floor (0.682415008544922 × 131072)
    floor (89445.5)     		ty = 89445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58567 / 89445 ti = "17/58567/89445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58567/89445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58567 ÷ 217
    58567 ÷ 131072     		x = 0.446830749511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89445 ÷ 217
    89445 ÷ 131072     		y = 0.682411193847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446830749511719 × 2 - 1) × π
    -0.106338500976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.33407225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682411193847656 × 2 - 1) × π
    -0.364822387695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.14612333301592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33407225} λ = -0.33407225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14612333301592))-π/2
    2×atan(0.317866647061681)-π/2
    2×0.307766558302974-π/2
    0.615533116605948-1.57079632675     		φ = -0.95526321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33407225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.140930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95526321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.732550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58567 KachelY 89445 -0.33407225 -0.95526321 -19.140930 -54.732550
    Oben rechts KachelX + 1 58568 KachelY 89445 -0.33402432 -0.95526321 -19.138184 -54.732550
    Unten links KachelX 58567 KachelY + 1 89446 -0.33407225 -0.95529089 -19.140930 -54.734136
    Unten rechts KachelX + 1 58568 KachelY + 1 89446 -0.33402432 -0.95529089 -19.138184 -54.734136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95526321--0.95529089) × R
    2.76799999999744e-05 × 6371000     		dl = 176.349279999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95526321--0.95529089) × R
    2.76799999999744e-05 × 6371000     		dr = 176.349279999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33407225--0.33402432) × cos(-0.95526321) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.577393875917236 × 6371000     		do = 176.314166059763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33407225--0.33402432) × cos(-0.95529089) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.577371275924234 × 6371000     		du = 176.307264880022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95526321)-sin(-0.95529089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577393875917236-0.577371275924234)×R²
    abs(-0.33402432--0.33407225)×2.25999930012488e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.25999930012488e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.25999930012488e-05×40589641000000     		ar = 31092.2677314454m²