Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58567 / 88429
↖ ↑ ↗
← S 53.089076°
W 19.140930°		 ← 183.39 m → S 53.089076°
W 19.138184°		 →
↑
183.42 m
↓
↑
183.42 m
↓
S 53.090725°
W 19.140930°		 ← 183.39 m →
33 637 m²		 S 53.090725°
W 19.138184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446834564208984 y=0.674663543701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446834564208984 × 217)
    floor (0.446834564208984 × 131072)
    floor (58567.5)     		tx = 58567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674663543701172 × 217)
    floor (0.674663543701172 × 131072)
    floor (88429.5)     		ty = 88429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58567 / 88429 ti = "17/58567/88429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58567/88429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58567 ÷ 217
    58567 ÷ 131072     		x = 0.446830749511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88429 ÷ 217
    88429 ÷ 131072     		y = 0.674659729003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446830749511719 × 2 - 1) × π
    -0.106338500976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.33407225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674659729003906 × 2 - 1) × π
    -0.349319458007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.09741944300195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33407225} λ = -0.33407225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09741944300195))-π/2
    2×atan(0.333731185796507)-π/2
    2×0.322108578865924-π/2
    0.644217157731848-1.57079632675     		φ = -0.92657917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33407225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.140930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92657917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.089076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58567 KachelY 88429 -0.33407225 -0.92657917 -19.140930 -53.089076
    Oben rechts KachelX + 1 58568 KachelY 88429 -0.33402432 -0.92657917 -19.138184 -53.089076
    Unten links KachelX 58567 KachelY + 1 88430 -0.33407225 -0.92660796 -19.140930 -53.090725
    Unten rechts KachelX + 1 58568 KachelY + 1 88430 -0.33402432 -0.92660796 -19.138184 -53.090725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92657917--0.92660796) × R
    2.87900000000008e-05 × 6371000     		dl = 183.421090000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92657917--0.92660796) × R
    2.87900000000008e-05 × 6371000     		dr = 183.421090000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33407225--0.33402432) × cos(-0.92657917) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.600572684534923 × 6371000     		do = 183.392094112246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33407225--0.33402432) × cos(-0.92660796) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.600549664660946 × 6371000     		du = 183.385064716798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92657917)-sin(-0.92660796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600572684534923-0.600549664660946)×R²
    abs(-0.33402432--0.33407225)×2.30198739766818e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30198739766818e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30198739766818e-05×40589641000000     		ar = 33637.3331320989m²