Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58567 / 88383
↖ ↑ ↗
← S 53.013131°
W 19.140930°		 ← 183.72 m → S 53.013131°
W 19.138184°		 →
↑
183.74 m
↓
↑
183.74 m
↓
S 53.014783°
W 19.140930°		 ← 183.71 m →
33 755 m²		 S 53.014783°
W 19.138184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446834564208984 y=0.674312591552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446834564208984 × 217)
    floor (0.446834564208984 × 131072)
    floor (58567.5)     		tx = 58567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674312591552734 × 217)
    floor (0.674312591552734 × 131072)
    floor (88383.5)     		ty = 88383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58567 / 88383 ti = "17/58567/88383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58567/88383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58567 ÷ 217
    58567 ÷ 131072     		x = 0.446830749511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88383 ÷ 217
    88383 ÷ 131072     		y = 0.674308776855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446830749511719 × 2 - 1) × π
    -0.106338500976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.33407225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674308776855469 × 2 - 1) × π
    -0.348617553710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.09521434561942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33407225} λ = -0.33407225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09521434561942))-π/2
    2×atan(0.334467907533837)-π/2
    2×0.322771323380992-π/2
    0.645542646761983-1.57079632675     		φ = -0.92525368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33407225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.140930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92525368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.013131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58567 KachelY 88383 -0.33407225 -0.92525368 -19.140930 -53.013131
    Oben rechts KachelX + 1 58568 KachelY 88383 -0.33402432 -0.92525368 -19.138184 -53.013131
    Unten links KachelX 58567 KachelY + 1 88384 -0.33407225 -0.92528252 -19.140930 -53.014783
    Unten rechts KachelX + 1 58568 KachelY + 1 88384 -0.33402432 -0.92528252 -19.138184 -53.014783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92525368--0.92528252) × R
    2.884000000003e-05 × 6371000     		dl = 183.739640000191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92525368--0.92528252) × R
    2.884000000003e-05 × 6371000     		dr = 183.739640000191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33407225--0.33402432) × cos(-0.92525368) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.601631978903983 × 6371000     		do = 183.71556239115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33407225--0.33402432) × cos(-0.92528252) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.601608942028614 × 6371000     		du = 183.708527804122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92525368)-sin(-0.92528252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601631978903983-0.601608942028614)×R²
    abs(-0.33402432--0.33407225)×2.30368753695309e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30368753695309e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30368753695309e-05×40589641000000     		ar = 33755.1850322325m²