Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58567 / 87175
↖ ↑ ↗
← S 50.970535°
W 19.140930°		 ← 192.29 m → S 50.970535°
W 19.138184°		 →
↑
192.34 m
↓
↑
192.34 m
↓
S 50.972265°
W 19.140930°		 ← 192.29 m →
36 985 m²		 S 50.972265°
W 19.138184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446834564208984 y=0.665096282958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446834564208984 × 217)
    floor (0.446834564208984 × 131072)
    floor (58567.5)     		tx = 58567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665096282958984 × 217)
    floor (0.665096282958984 × 131072)
    floor (87175.5)     		ty = 87175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58567 / 87175 ti = "17/58567/87175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58567/87175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58567 ÷ 217
    58567 ÷ 131072     		x = 0.446830749511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87175 ÷ 217
    87175 ÷ 131072     		y = 0.665092468261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446830749511719 × 2 - 1) × π
    -0.106338500976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.33407225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665092468261719 × 2 - 1) × π
    -0.330184936523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.0373065708784
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33407225} λ = -0.33407225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0373065708784))-π/2
    2×atan(0.354407970323349)-π/2
    2×0.340596331777911-π/2
    0.681192663555823-1.57079632675     		φ = -0.88960366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33407225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.140930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88960366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.970535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58567 KachelY 87175 -0.33407225 -0.88960366 -19.140930 -50.970535
    Oben rechts KachelX + 1 58568 KachelY 87175 -0.33402432 -0.88960366 -19.138184 -50.970535
    Unten links KachelX 58567 KachelY + 1 87176 -0.33407225 -0.88963385 -19.140930 -50.972265
    Unten rechts KachelX + 1 58568 KachelY + 1 87176 -0.33402432 -0.88963385 -19.138184 -50.972265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88960366--0.88963385) × R
    3.018999999993e-05 × 6371000     		dl = 192.340489999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88960366--0.88963385) × R
    3.018999999993e-05 × 6371000     		dr = 192.340489999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33407225--0.33402432) × cos(-0.88960366) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.62971996174633 × 6371000     		do = 192.292565850499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33407225--0.33402432) × cos(-0.88963385) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.629696509196376 × 6371000     		du = 192.285404332237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88960366)-sin(-0.88963385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62971996174633-0.629696509196376)×R²
    abs(-0.33402432--0.33407225)×2.34525499540617e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34525499540617e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34525499540617e-05×40589641000000     		ar = 36984.9576167523m²