Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58566 / 87918
↖ ↑ ↗
← S 52.237893°
W 19.143677°		 ← 187.04 m → S 52.237893°
W 19.140930°		 →
↑
186.99 m
↓
↑
186.99 m
↓
S 52.239574°
W 19.143677°		 ← 187.03 m →
34 973 m²		 S 52.239574°
W 19.140930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446826934814453 y=0.670764923095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446826934814453 × 217)
    floor (0.446826934814453 × 131072)
    floor (58566.5)     		tx = 58566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670764923095703 × 217)
    floor (0.670764923095703 × 131072)
    floor (87918.5)     		ty = 87918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58566 / 87918 ti = "17/58566/87918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58566/87918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58566 ÷ 217
    58566 ÷ 131072     		x = 0.446823120117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87918 ÷ 217
    87918 ÷ 131072     		y = 0.670761108398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446823120117188 × 2 - 1) × π
    -0.106353759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33412019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670761108398438 × 2 - 1) × π
    -0.341522216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.0729236872961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33412019} λ = -0.33412019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0729236872961))-π/2
    2×atan(0.342007132355586)-π/2
    2×0.329536555506959-π/2
    0.659073111013918-1.57079632675     		φ = -0.91172322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33412019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.143677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91172322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.237893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58566 KachelY 87918 -0.33412019 -0.91172322 -19.143677 -52.237893
    Oben rechts KachelX + 1 58567 KachelY 87918 -0.33407225 -0.91172322 -19.140930 -52.237893
    Unten links KachelX 58566 KachelY + 1 87919 -0.33412019 -0.91175257 -19.143677 -52.239574
    Unten rechts KachelX + 1 58567 KachelY + 1 87919 -0.33407225 -0.91175257 -19.140930 -52.239574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91172322--0.91175257) × R
    2.93500000000391e-05 × 6371000     		dl = 186.988850000249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91172322--0.91175257) × R
    2.93500000000391e-05 × 6371000     		dr = 186.988850000249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33412019--0.33407225) × cos(-0.91172322) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.61238435027299 × 6371000     		do = 187.037943346425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33412019--0.33407225) × cos(-0.91175257) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.612361147067776 × 6371000     		du = 187.030856490302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91172322)-sin(-0.91175257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61238435027299-0.612361147067776)×R²
    abs(-0.33407225--0.33412019)×2.32032052138731e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32032052138731e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32032052138731e-05×40589641000000     		ar = 34973.3473537918m²