Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58564 / 87878
↖ ↑ ↗
← S 52.170563°
W 19.149170°		 ← 187.28 m → S 52.170563°
W 19.146423°		 →
↑
187.31 m
↓
↑
187.31 m
↓
S 52.172247°
W 19.149170°		 ← 187.28 m →
35 079 m²		 S 52.172247°
W 19.146423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446811676025391 y=0.670459747314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446811676025391 × 217)
    floor (0.446811676025391 × 131072)
    floor (58564.5)     		tx = 58564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670459747314453 × 217)
    floor (0.670459747314453 × 131072)
    floor (87878.5)     		ty = 87878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58564 / 87878 ti = "17/58564/87878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58564/87878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58564 ÷ 217
    58564 ÷ 131072     		x = 0.446807861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87878 ÷ 217
    87878 ÷ 131072     		y = 0.670455932617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446807861328125 × 2 - 1) × π
    -0.10638427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33421606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670455932617188 × 2 - 1) × π
    -0.340911865234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.07100621131129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33421606} λ = -0.33421606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07100621131129))-π/2
    2×atan(0.342663551951792)-π/2
    2×0.330124116741339-π/2
    0.660248233482677-1.57079632675     		φ = -0.91054809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33421606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.149170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91054809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.170563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58564 KachelY 87878 -0.33421606 -0.91054809 -19.149170 -52.170563
    Oben rechts KachelX + 1 58565 KachelY 87878 -0.33416813 -0.91054809 -19.146423 -52.170563
    Unten links KachelX 58564 KachelY + 1 87879 -0.33421606 -0.91057749 -19.149170 -52.172247
    Unten rechts KachelX + 1 58565 KachelY + 1 87879 -0.33416813 -0.91057749 -19.146423 -52.172247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91054809--0.91057749) × R
    2.93999999999572e-05 × 6371000     		dl = 187.307399999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91054809--0.91057749) × R
    2.93999999999572e-05 × 6371000     		dr = 187.307399999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33421606--0.33416813) × cos(-0.91054809) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.613312938220368 × 6371000     		do = 187.282483840134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33421606--0.33416813) × cos(-0.91057749) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.613289716659045 × 6371000     		du = 187.275392857029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91054809)-sin(-0.91057749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613312938220368-0.613289716659045)×R²
    abs(-0.33416813--0.33421606)×2.32215613226172e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.32215613226172e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.32215613226172e-05×40589641000000     		ar = 35078.7310192673m²