Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58562 / 88459
↖ ↑ ↗
← S 53.138533°
W 19.154663°		 ← 183.22 m → S 53.138533°
W 19.151916°		 →
↑
183.23 m
↓
↑
183.23 m
↓
S 53.140181°
W 19.154663°		 ← 183.21 m →
33 571 m²		 S 53.140181°
W 19.151916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446796417236328 y=0.674892425537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446796417236328 × 217)
    floor (0.446796417236328 × 131072)
    floor (58562.5)     		tx = 58562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674892425537109 × 217)
    floor (0.674892425537109 × 131072)
    floor (88459.5)     		ty = 88459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58562 / 88459 ti = "17/58562/88459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58562/88459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58562 ÷ 217
    58562 ÷ 131072     		x = 0.446792602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88459 ÷ 217
    88459 ÷ 131072     		y = 0.674888610839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446792602539062 × 2 - 1) × π
    -0.106414794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33431194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674888610839844 × 2 - 1) × π
    -0.349777221679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.09885754999055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33431194} λ = -0.33431194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09885754999055))-π/2
    2×atan(0.333251589583887)-π/2
    2×0.321676983218078-π/2
    0.643353966436157-1.57079632675     		φ = -0.92744236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33431194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.154663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92744236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.138533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58562 KachelY 88459 -0.33431194 -0.92744236 -19.154663 -53.138533
    Oben rechts KachelX + 1 58563 KachelY 88459 -0.33426400 -0.92744236 -19.151916 -53.138533
    Unten links KachelX 58562 KachelY + 1 88460 -0.33431194 -0.92747112 -19.154663 -53.140181
    Unten rechts KachelX + 1 58563 KachelY + 1 88460 -0.33426400 -0.92747112 -19.151916 -53.140181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92744236--0.92747112) × R
    2.8759999999961e-05 × 6371000     		dl = 183.229959999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92744236--0.92747112) × R
    2.8759999999961e-05 × 6371000     		dr = 183.229959999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33431194--0.33426400) × cos(-0.92744236) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.599882279906484 × 6371000     		do = 183.219489253205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33431194--0.33426400) × cos(-0.92747112) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.599859269119562 × 6371000     		du = 183.212461166581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92744236)-sin(-0.92747112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599882279906484-0.599859269119562)×R²
    abs(-0.33426400--0.33431194)×2.30107869226837e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30107869226837e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30107869226837e-05×40589641000000     		ar = 33570.655811327m²