Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58561 / 87876
↖ ↑ ↗
← S 52.167194°
W 19.157409°		 ← 187.30 m → S 52.167194°
W 19.154663°		 →
↑
187.31 m
↓
↑
187.31 m
↓
S 52.168878°
W 19.157409°		 ← 187.29 m →
35 081 m²		 S 52.168878°
W 19.154663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446788787841797 y=0.670444488525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446788787841797 × 217)
    floor (0.446788787841797 × 131072)
    floor (58561.5)     		tx = 58561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670444488525391 × 217)
    floor (0.670444488525391 × 131072)
    floor (87876.5)     		ty = 87876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58561 / 87876 ti = "17/58561/87876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58561/87876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58561 ÷ 217
    58561 ÷ 131072     		x = 0.446784973144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87876 ÷ 217
    87876 ÷ 131072     		y = 0.670440673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446784973144531 × 2 - 1) × π
    -0.106430053710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.33435987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670440673828125 × 2 - 1) × π
    -0.34088134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.07091033751205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33435987} λ = -0.33435987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07091033751205))-π/2
    2×atan(0.342696405983274)-π/2
    2×0.330153518175149-π/2
    0.660307036350297-1.57079632675     		φ = -0.91048929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33435987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.157409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91048929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.167194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58561 KachelY 87876 -0.33435987 -0.91048929 -19.157409 -52.167194
    Oben rechts KachelX + 1 58562 KachelY 87876 -0.33431194 -0.91048929 -19.154663 -52.167194
    Unten links KachelX 58561 KachelY + 1 87877 -0.33435987 -0.91051869 -19.157409 -52.168878
    Unten rechts KachelX + 1 58562 KachelY + 1 87877 -0.33431194 -0.91051869 -19.154663 -52.168878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91048929--0.91051869) × R
    2.93999999999572e-05 × 6371000     		dl = 187.307399999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91048929--0.91051869) × R
    2.93999999999572e-05 × 6371000     		dr = 187.307399999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33435987--0.33431194) × cos(-0.91048929) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.613359379752624 × 6371000     		do = 187.296665320917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33435987--0.33431194) × cos(-0.91051869) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.613336159251568 × 6371000     		du = 187.289574661577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91048929)-sin(-0.91051869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613359379752624-0.613336159251568)×R²
    abs(-0.33431194--0.33435987)×2.3220501056298e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3220501056298e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3220501056298e-05×40589641000000     		ar = 35081.3873457647m²