Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58561 / 87874
↖ ↑ ↗
← S 52.163824°
W 19.157409°		 ← 187.31 m → S 52.163824°
W 19.154663°		 →
↑
187.37 m
↓
↑
187.37 m
↓
S 52.165509°
W 19.157409°		 ← 187.30 m →
35 096 m²		 S 52.165509°
W 19.154663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446788787841797 y=0.670429229736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446788787841797 × 217)
    floor (0.446788787841797 × 131072)
    floor (58561.5)     		tx = 58561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670429229736328 × 217)
    floor (0.670429229736328 × 131072)
    floor (87874.5)     		ty = 87874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58561 / 87874 ti = "17/58561/87874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58561/87874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58561 ÷ 217
    58561 ÷ 131072     		x = 0.446784973144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87874 ÷ 217
    87874 ÷ 131072     		y = 0.670425415039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446784973144531 × 2 - 1) × π
    -0.106430053710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.33435987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670425415039062 × 2 - 1) × π
    -0.340850830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.07081446371281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33435987} λ = -0.33435987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07081446371281))-π/2
    2×atan(0.342729263164748)-π/2
    2×0.330182921835364-π/2
    0.660365843670727-1.57079632675     		φ = -0.91043048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33435987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.157409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91043048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.163824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58561 KachelY 87874 -0.33435987 -0.91043048 -19.157409 -52.163824
    Oben rechts KachelX + 1 58562 KachelY 87874 -0.33431194 -0.91043048 -19.154663 -52.163824
    Unten links KachelX 58561 KachelY + 1 87875 -0.33435987 -0.91045989 -19.157409 -52.165509
    Unten rechts KachelX + 1 58562 KachelY + 1 87875 -0.33431194 -0.91045989 -19.154663 -52.165509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91043048--0.91045989) × R
    2.94100000000075e-05 × 6371000     		dl = 187.371110000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91043048--0.91045989) × R
    2.94100000000075e-05 × 6371000     		dr = 187.371110000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33435987--0.33431194) × cos(-0.91043048) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.613405827061905 × 6371000     		do = 187.310848565567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33435987--0.33431194) × cos(-0.91045989) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.613382599723517 × 6371000     		du = 187.303755818365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91043048)-sin(-0.91045989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613405827061905-0.613382599723517)×R²
    abs(-0.33431194--0.33435987)×2.32273383883319e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32273383883319e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32273383883319e-05×40589641000000     		ar = 35095.9771254113m²