Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58559 / 87931
↖ ↑ ↗
← S 52.259753°
W 19.162903°		 ← 186.95 m → S 52.259753°
W 19.160156°		 →
↑
186.93 m
↓
↑
186.93 m
↓
S 52.261434°
W 19.162903°		 ← 186.94 m →
34 944 m²		 S 52.261434°
W 19.160156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446773529052734 y=0.670864105224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446773529052734 × 217)
    floor (0.446773529052734 × 131072)
    floor (58559.5)     		tx = 58559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670864105224609 × 217)
    floor (0.670864105224609 × 131072)
    floor (87931.5)     		ty = 87931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58559 / 87931 ti = "17/58559/87931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58559/87931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58559 ÷ 217
    58559 ÷ 131072     		x = 0.446769714355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87931 ÷ 217
    87931 ÷ 131072     		y = 0.670860290527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446769714355469 × 2 - 1) × π
    -0.106460571289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.33445575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670860290527344 × 2 - 1) × π
    -0.341720581054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.07354686699116
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33445575} λ = -0.33445575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07354686699116))-π/2
    2×atan(0.341794066851079)-π/2
    2×0.329345789759504-π/2
    0.658691579519007-1.57079632675     		φ = -0.91210475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33445575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.162903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91210475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.259753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58559 KachelY 87931 -0.33445575 -0.91210475 -19.162903 -52.259753
    Oben rechts KachelX + 1 58560 KachelY 87931 -0.33440781 -0.91210475 -19.160156 -52.259753
    Unten links KachelX 58559 KachelY + 1 87932 -0.33445575 -0.91213409 -19.162903 -52.261434
    Unten rechts KachelX + 1 58560 KachelY + 1 87932 -0.33440781 -0.91213409 -19.160156 -52.261434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91210475--0.91213409) × R
    2.93399999999888e-05 × 6371000     		dl = 186.925139999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91210475--0.91213409) × R
    2.93399999999888e-05 × 6371000     		dr = 186.925139999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33445575--0.33440781) × cos(-0.91210475) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.612082683281672 × 6371000     		do = 186.945806482368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33445575--0.33440781) × cos(-0.91213409) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.612059481128972 × 6371000     		du = 186.93871994771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91210475)-sin(-0.91213409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612082683281672-0.612059481128972)×R²
    abs(-0.33440781--0.33445575)×2.32021526997972e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32021526997972e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32021526997972e-05×40589641000000     		ar = 34944.2087258451m²