Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58554 / 87850
↖ ↑ ↗
← S 52.123372°
W 19.176636°		 ← 187.48 m → S 52.123372°
W 19.173889°		 →
↑
187.50 m
↓
↑
187.50 m
↓
S 52.125058°
W 19.176636°		 ← 187.47 m →
35 152 m²		 S 52.125058°
W 19.173889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446735382080078 y=0.670246124267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446735382080078 × 217)
    floor (0.446735382080078 × 131072)
    floor (58554.5)     		tx = 58554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670246124267578 × 217)
    floor (0.670246124267578 × 131072)
    floor (87850.5)     		ty = 87850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58554 / 87850 ti = "17/58554/87850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58554/87850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58554 ÷ 217
    58554 ÷ 131072     		x = 0.446731567382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87850 ÷ 217
    87850 ÷ 131072     		y = 0.670242309570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446731567382812 × 2 - 1) × π
    -0.106536865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33469543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670242309570312 × 2 - 1) × π
    -0.340484619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.06966397812193
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33469543} λ = -0.33469543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06966397812193))-π/2
    2×atan(0.343123795151758)-π/2
    2×0.330535939441868-π/2
    0.661071878883737-1.57079632675     		φ = -0.90972445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33469543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.176636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90972445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.123372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58554 KachelY 87850 -0.33469543 -0.90972445 -19.176636 -52.123372
    Oben rechts KachelX + 1 58555 KachelY 87850 -0.33464750 -0.90972445 -19.173889 -52.123372
    Unten links KachelX 58554 KachelY + 1 87851 -0.33469543 -0.90975388 -19.176636 -52.125058
    Unten rechts KachelX + 1 58555 KachelY + 1 87851 -0.33464750 -0.90975388 -19.173889 -52.125058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90972445--0.90975388) × R
    2.9429999999997e-05 × 6371000     		dl = 187.498529999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90972445--0.90975388) × R
    2.9429999999997e-05 × 6371000     		dr = 187.498529999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33469543--0.33464750) × cos(-0.90972445) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.613963273941347 × 6371000     		do = 187.481071676291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33469543--0.33464750) × cos(-0.90975388) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.613940043558421 × 6371000     		du = 187.473977999403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90972445)-sin(-0.90975388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613963273941347-0.613940043558421)×R²
    abs(-0.33464750--0.33469543)×2.32303829259539e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32303829259539e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32303829259539e-05×40589641000000     		ar = 35151.7603175151m²