Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58553 / 87839
↖ ↑ ↗
← S 52.104818°
W 19.179382°		 ← 187.60 m → S 52.104818°
W 19.176636°		 →
↑
187.63 m
↓
↑
187.63 m
↓
S 52.106505°
W 19.179382°		 ← 187.59 m →
35 198 m²		 S 52.106505°
W 19.176636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446727752685547 y=0.670162200927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446727752685547 × 217)
    floor (0.446727752685547 × 131072)
    floor (58553.5)     		tx = 58553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670162200927734 × 217)
    floor (0.670162200927734 × 131072)
    floor (87839.5)     		ty = 87839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58553 / 87839 ti = "17/58553/87839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58553/87839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58553 ÷ 217
    58553 ÷ 131072     		x = 0.446723937988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87839 ÷ 217
    87839 ÷ 131072     		y = 0.670158386230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446723937988281 × 2 - 1) × π
    -0.106552124023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.33474337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670158386230469 × 2 - 1) × π
    -0.340316772460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.06913667222611
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33474337} λ = -0.33474337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06913667222611))-π/2
    2×atan(0.343304774063368)-π/2
    2×0.330697846358732-π/2
    0.661395692717464-1.57079632675     		φ = -0.90940063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33474337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.179382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90940063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.104818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58553 KachelY 87839 -0.33474337 -0.90940063 -19.179382 -52.104818
    Oben rechts KachelX + 1 58554 KachelY 87839 -0.33469543 -0.90940063 -19.176636 -52.104818
    Unten links KachelX 58553 KachelY + 1 87840 -0.33474337 -0.90943008 -19.179382 -52.106505
    Unten rechts KachelX + 1 58554 KachelY + 1 87840 -0.33469543 -0.90943008 -19.176636 -52.106505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90940063--0.90943008) × R
    2.94499999999864e-05 × 6371000     		dl = 187.625949999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90940063--0.90943008) × R
    2.94499999999864e-05 × 6371000     		dr = 187.625949999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33474337--0.33469543) × cos(-0.90940063) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.614218844074579 × 6371000     		do = 187.5982449733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33474337--0.33469543) × cos(-0.90943008) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.614195603760768 × 6371000     		du = 187.591146783256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90940063)-sin(-0.90943008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614218844074579-0.614195603760768)×R²
    abs(-0.33469543--0.33474337)×2.32403138112902e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32403138112902e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32403138112902e-05×40589641000000     		ar = 35197.6330315872m²