Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58550 / 87830
↖ ↑ ↗
← S 52.089633°
W 19.187622°		 ← 187.66 m → S 52.089633°
W 19.184875°		 →
↑
187.63 m
↓
↑
187.63 m
↓
S 52.091320°
W 19.187622°		 ← 187.66 m →
35 210 m²		 S 52.091320°
W 19.184875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446704864501953 y=0.670093536376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446704864501953 × 217)
    floor (0.446704864501953 × 131072)
    floor (58550.5)     		tx = 58550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670093536376953 × 217)
    floor (0.670093536376953 × 131072)
    floor (87830.5)     		ty = 87830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58550 / 87830 ti = "17/58550/87830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58550/87830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58550 ÷ 217
    58550 ÷ 131072     		x = 0.446701049804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87830 ÷ 217
    87830 ÷ 131072     		y = 0.670089721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446701049804688 × 2 - 1) × π
    -0.106597900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33488718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670089721679688 × 2 - 1) × π
    -0.340179443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.06870524012953
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33488718} λ = -0.33488718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06870524012953))-π/2
    2×atan(0.34345291871669)-π/2
    2×0.330830365775716-π/2
    0.661660731551432-1.57079632675     		φ = -0.90913560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33488718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.187622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90913560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.089633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58550 KachelY 87830 -0.33488718 -0.90913560 -19.187622 -52.089633
    Oben rechts KachelX + 1 58551 KachelY 87830 -0.33483924 -0.90913560 -19.184875 -52.089633
    Unten links KachelX 58550 KachelY + 1 87831 -0.33488718 -0.90916505 -19.187622 -52.091320
    Unten rechts KachelX + 1 58551 KachelY + 1 87831 -0.33483924 -0.90916505 -19.184875 -52.091320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90913560--0.90916505) × R
    2.94499999999864e-05 × 6371000     		dl = 187.625949999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90913560--0.90916505) × R
    2.94499999999864e-05 × 6371000     		dr = 187.625949999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33488718--0.33483924) × cos(-0.90913560) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.614427967144895 × 6371000     		do = 187.662116542019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33488718--0.33483924) × cos(-0.90916505) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.614404731625869 × 6371000     		du = 187.655019816427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90913560)-sin(-0.90916505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614427967144895-0.614404731625869)×R²
    abs(-0.33483924--0.33488718)×2.32355190257216e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32355190257216e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32355190257216e-05×40589641000000     		ar = 35209.6171328191m²