Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58550 / 87169
↖ ↑ ↗
← S 50.960157°
W 19.187622°		 ← 192.38 m → S 50.960157°
W 19.184875°		 →
↑
192.40 m
↓
↑
192.40 m
↓
S 50.961887°
W 19.187622°		 ← 192.37 m →
37 013 m²		 S 50.961887°
W 19.184875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446704864501953 y=0.665050506591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446704864501953 × 217)
    floor (0.446704864501953 × 131072)
    floor (58550.5)     		tx = 58550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665050506591797 × 217)
    floor (0.665050506591797 × 131072)
    floor (87169.5)     		ty = 87169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58550 / 87169 ti = "17/58550/87169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58550/87169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58550 ÷ 217
    58550 ÷ 131072     		x = 0.446701049804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87169 ÷ 217
    87169 ÷ 131072     		y = 0.665046691894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446701049804688 × 2 - 1) × π
    -0.106597900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33488718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665046691894531 × 2 - 1) × π
    -0.330093383789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.03701894948067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33488718} λ = -0.33488718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03701894948067))-π/2
    2×atan(0.354509920299932)-π/2
    2×0.340686902362587-π/2
    0.681373804725174-1.57079632675     		φ = -0.88942252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33488718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.187622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88942252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.960157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58550 KachelY 87169 -0.33488718 -0.88942252 -19.187622 -50.960157
    Oben rechts KachelX + 1 58551 KachelY 87169 -0.33483924 -0.88942252 -19.184875 -50.960157
    Unten links KachelX 58550 KachelY + 1 87170 -0.33488718 -0.88945272 -19.187622 -50.961887
    Unten rechts KachelX + 1 58551 KachelY + 1 87170 -0.33483924 -0.88945272 -19.184875 -50.961887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88942252--0.88945272) × R
    3.01999999999802e-05 × 6371000     		dl = 192.404199999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88942252--0.88945272) × R
    3.01999999999802e-05 × 6371000     		dr = 192.404199999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33488718--0.33483924) × cos(-0.88942252) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.629860664992367 × 6371000     		do = 192.375659702283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33488718--0.33483924) × cos(-0.88945272) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.629837208119159 × 6371000     		du = 192.368495369425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88942252)-sin(-0.88945272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629860664992367-0.629837208119159)×R²
    abs(-0.33483924--0.33488718)×2.34568732081497e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34568732081497e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34568732081497e-05×40589641000000     		ar = 37013.1956832761m²