Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58548 / 87957
↖ ↑ ↗
← S 52.303441°
W 19.193115°		 ← 186.72 m → S 52.303441°
W 19.190369°		 →
↑
186.73 m
↓
↑
186.73 m
↓
S 52.305120°
W 19.193115°		 ← 186.72 m →
34 867 m²		 S 52.305120°
W 19.190369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446689605712891 y=0.671062469482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446689605712891 × 217)
    floor (0.446689605712891 × 131072)
    floor (58548.5)     		tx = 58548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671062469482422 × 217)
    floor (0.671062469482422 × 131072)
    floor (87957.5)     		ty = 87957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58548 / 87957 ti = "17/58548/87957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58548/87957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58548 ÷ 217
    58548 ÷ 131072     		x = 0.446685791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87957 ÷ 217
    87957 ÷ 131072     		y = 0.671058654785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446685791015625 × 2 - 1) × π
    -0.10662841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33498305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671058654785156 × 2 - 1) × π
    -0.342117309570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.07479322638128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33498305} λ = -0.33498305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07479322638128))-π/2
    2×atan(0.341368333969571)-π/2
    2×0.328964540208379-π/2
    0.657929080416757-1.57079632675     		φ = -0.91286725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33498305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.193115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91286725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.303441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58548 KachelY 87957 -0.33498305 -0.91286725 -19.193115 -52.303441
    Oben rechts KachelX + 1 58549 KachelY 87957 -0.33493512 -0.91286725 -19.190369 -52.303441
    Unten links KachelX 58548 KachelY + 1 87958 -0.33498305 -0.91289656 -19.193115 -52.305120
    Unten rechts KachelX + 1 58549 KachelY + 1 87958 -0.33493512 -0.91289656 -19.190369 -52.305120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91286725--0.91289656) × R
    2.93099999999491e-05 × 6371000     		dl = 186.734009999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91286725--0.91289656) × R
    2.93099999999491e-05 × 6371000     		dr = 186.734009999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33498305--0.33493512) × cos(-0.91286725) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.611479525155097 × 6371000     		do = 186.722629104911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33498305--0.33493512) × cos(-0.91289656) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.611456333054388 × 6371000     		du = 186.715547117958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91286725)-sin(-0.91289656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611479525155097-0.611456333054388)×R²
    abs(-0.33493512--0.33498305)×2.31921007091129e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31921007091129e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31921007091129e-05×40589641000000     		ar = 34866.8040689826m²