Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58547 / 87956
↖ ↑ ↗
← S 52.301761°
W 19.195862°		 ← 186.77 m → S 52.301761°
W 19.193115°		 →
↑
186.80 m
↓
↑
186.80 m
↓
S 52.303441°
W 19.195862°		 ← 186.76 m →
34 887 m²		 S 52.303441°
W 19.193115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446681976318359 y=0.671054840087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446681976318359 × 217)
    floor (0.446681976318359 × 131072)
    floor (58547.5)     		tx = 58547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671054840087891 × 217)
    floor (0.671054840087891 × 131072)
    floor (87956.5)     		ty = 87956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58547 / 87956 ti = "17/58547/87956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58547/87956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58547 ÷ 217
    58547 ÷ 131072     		x = 0.446678161621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87956 ÷ 217
    87956 ÷ 131072     		y = 0.671051025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446678161621094 × 2 - 1) × π
    -0.106643676757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.33503099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671051025390625 × 2 - 1) × π
    -0.34210205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.07474528948166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33503099} λ = -0.33503099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07474528948166))-π/2
    2×atan(0.341384698501359)-π/2
    2×0.328979196702716-π/2
    0.657958393405433-1.57079632675     		φ = -0.91283793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33503099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.195862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91283793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.301761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58547 KachelY 87956 -0.33503099 -0.91283793 -19.195862 -52.301761
    Oben rechts KachelX + 1 58548 KachelY 87956 -0.33498305 -0.91283793 -19.193115 -52.301761
    Unten links KachelX 58547 KachelY + 1 87957 -0.33503099 -0.91286725 -19.195862 -52.303441
    Unten rechts KachelX + 1 58548 KachelY + 1 87957 -0.33498305 -0.91286725 -19.193115 -52.303441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91283793--0.91286725) × R
    2.93199999999993e-05 × 6371000     		dl = 186.797719999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91283793--0.91286725) × R
    2.93199999999993e-05 × 6371000     		dr = 186.797719999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33503099--0.33498305) × cos(-0.91283793) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.611502724642922 × 6371000     		do = 186.768672185958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33503099--0.33498305) × cos(-0.91286725) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.611479525155097 × 6371000     		du = 186.761586465222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91283793)-sin(-0.91286725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611502724642922-0.611479525155097)×R²
    abs(-0.33498305--0.33503099)×2.31994878250319e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31994878250319e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31994878250319e-05×40589641000000     		ar = 34887.3003358818m²