Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58546 / 87695
↖ ↑ ↗
← S 51.861228°
W 19.198608°		 ← 188.62 m → S 51.861228°
W 19.195862°		 →
↑
188.58 m
↓
↑
188.58 m
↓
S 51.862924°
W 19.198608°		 ← 188.61 m →
35 570 m²		 S 51.862924°
W 19.195862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446674346923828 y=0.669063568115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446674346923828 × 217)
    floor (0.446674346923828 × 131072)
    floor (58546.5)     		tx = 58546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669063568115234 × 217)
    floor (0.669063568115234 × 131072)
    floor (87695.5)     		ty = 87695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58546 / 87695 ti = "17/58546/87695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58546/87695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58546 ÷ 217
    58546 ÷ 131072     		x = 0.446670532226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87695 ÷ 217
    87695 ÷ 131072     		y = 0.669059753417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446670532226562 × 2 - 1) × π
    -0.106658935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33507893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669059753417969 × 2 - 1) × π
    -0.338119506835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.06223375868082
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33507893} λ = -0.33507893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06223375868082))-π/2
    2×atan(0.345682775364426)-π/2
    2×0.332823574279685-π/2
    0.66564714855937-1.57079632675     		φ = -0.90514918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33507893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.198608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90514918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.861228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58546 KachelY 87695 -0.33507893 -0.90514918 -19.198608 -51.861228
    Oben rechts KachelX + 1 58547 KachelY 87695 -0.33503099 -0.90514918 -19.195862 -51.861228
    Unten links KachelX 58546 KachelY + 1 87696 -0.33507893 -0.90517878 -19.198608 -51.862924
    Unten rechts KachelX + 1 58547 KachelY + 1 87696 -0.33503099 -0.90517878 -19.195862 -51.862924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90514918--0.90517878) × R
    2.9599999999963e-05 × 6371000     		dl = 188.581599999764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90514918--0.90517878) × R
    2.9599999999963e-05 × 6371000     		dr = 188.581599999764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33507893--0.33503099) × cos(-0.90514918) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.617568254156026 × 6371000     		do = 188.621241026207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33507893--0.33503099) × cos(-0.90517878) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.617544972973626 × 6371000     		du = 188.614130353844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90514918)-sin(-0.90517878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617568254156026-0.617544972973626)×R²
    abs(-0.33503099--0.33507893)×2.32811823999146e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32811823999146e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32811823999146e-05×40589641000000     		ar = 35569.8249583017m²