Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58544 / 88499
↖ ↑ ↗
← S 53.204388°
W 19.204101°		 ← 182.90 m → S 53.204388°
W 19.201355°		 →
↑
182.91 m
↓
↑
182.91 m
↓
S 53.206033°
W 19.204101°		 ← 182.89 m →
33 454 m²		 S 53.206033°
W 19.201355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446659088134766 y=0.675197601318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446659088134766 × 217)
    floor (0.446659088134766 × 131072)
    floor (58544.5)     		tx = 58544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675197601318359 × 217)
    floor (0.675197601318359 × 131072)
    floor (88499.5)     		ty = 88499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58544 / 88499 ti = "17/58544/88499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58544/88499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58544 ÷ 217
    58544 ÷ 131072     		x = 0.4466552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88499 ÷ 217
    88499 ÷ 131072     		y = 0.675193786621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4466552734375 × 2 - 1) × π
    -0.106689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33517480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675193786621094 × 2 - 1) × π
    -0.350387573242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.10077502597535
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33517480} λ = -0.33517480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10077502597535))-π/2
    2×atan(0.332613199907997)-π/2
    2×0.321102294354511-π/2
    0.642204588709022-1.57079632675     		φ = -0.92859174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33517480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.204101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92859174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.204388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58544 KachelY 88499 -0.33517480 -0.92859174 -19.204101 -53.204388
    Oben rechts KachelX + 1 58545 KachelY 88499 -0.33512687 -0.92859174 -19.201355 -53.204388
    Unten links KachelX 58544 KachelY + 1 88500 -0.33517480 -0.92862045 -19.204101 -53.206033
    Unten rechts KachelX + 1 58545 KachelY + 1 88500 -0.33512687 -0.92862045 -19.201355 -53.206033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92859174--0.92862045) × R
    2.87100000000429e-05 × 6371000     		dl = 182.911410000273m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92859174--0.92862045) × R
    2.87100000000429e-05 × 6371000     		dr = 182.911410000273m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33517480--0.33512687) × cos(-0.92859174) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.598962278401161 × 6371000     		do = 182.900337225904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33517480--0.33512687) × cos(-0.92862045) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.598939287839735 × 6371000     		du = 182.893316781396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92859174)-sin(-0.92862045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598962278401161-0.598939287839735)×R²
    abs(-0.33512687--0.33517480)×2.29905614258508e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.29905614258508e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.29905614258508e-05×40589641000000     		ar = 33453.9165140552m²