Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58544 / 87881
↖ ↑ ↗
← S 52.175616°
W 19.204101°		 ← 187.26 m → S 52.175616°
W 19.201355°		 →
↑
187.31 m
↓
↑
187.31 m
↓
S 52.177301°
W 19.204101°		 ← 187.25 m →
35 075 m²		 S 52.177301°
W 19.201355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446659088134766 y=0.670482635498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446659088134766 × 217)
    floor (0.446659088134766 × 131072)
    floor (58544.5)     		tx = 58544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670482635498047 × 217)
    floor (0.670482635498047 × 131072)
    floor (87881.5)     		ty = 87881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58544 / 87881 ti = "17/58544/87881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58544/87881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58544 ÷ 217
    58544 ÷ 131072     		x = 0.4466552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87881 ÷ 217
    87881 ÷ 131072     		y = 0.670478820800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4466552734375 × 2 - 1) × π
    -0.106689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33517480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670478820800781 × 2 - 1) × π
    -0.340957641601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.07115002201015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33517480} λ = -0.33517480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07115002201015))-π/2
    2×atan(0.342614276810144)-π/2
    2×0.330080018764987-π/2
    0.660160037529974-1.57079632675     		φ = -0.91063629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33517480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.204101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91063629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.175616°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58544 KachelY 87881 -0.33517480 -0.91063629 -19.204101 -52.175616
    Oben rechts KachelX + 1 58545 KachelY 87881 -0.33512687 -0.91063629 -19.201355 -52.175616
    Unten links KachelX 58544 KachelY + 1 87882 -0.33517480 -0.91066569 -19.204101 -52.177301
    Unten rechts KachelX + 1 58545 KachelY + 1 87882 -0.33512687 -0.91066569 -19.201355 -52.177301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91063629--0.91066569) × R
    2.93999999999572e-05 × 6371000     		dl = 187.307399999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91063629--0.91066569) × R
    2.93999999999572e-05 × 6371000     		dr = 187.307399999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33517480--0.33512687) × cos(-0.91063629) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.613243271946111 × 6371000     		do = 187.261210405204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33517480--0.33512687) × cos(-0.91066569) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.613220048794539 × 6371000     		du = 187.254118936497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91063629)-sin(-0.91066569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613243271946111-0.613220048794539)×R²
    abs(-0.33512687--0.33517480)×2.32231515717718e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.32231515717718e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.32231515717718e-05×40589641000000     		ar = 35074.7463020371m²