Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58543 / 88369
↖ ↑ ↗
← S 52.989991°
W 19.206848°		 ← 183.85 m → S 52.989991°
W 19.204101°		 →
↑
183.80 m
↓
↑
183.80 m
↓
S 52.991644°
W 19.206848°		 ← 183.85 m →
33 792 m²		 S 52.991644°
W 19.204101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446651458740234 y=0.674205780029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446651458740234 × 217)
    floor (0.446651458740234 × 131072)
    floor (58543.5)     		tx = 58543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674205780029297 × 217)
    floor (0.674205780029297 × 131072)
    floor (88369.5)     		ty = 88369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58543 / 88369 ti = "17/58543/88369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58543/88369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58543 ÷ 217
    58543 ÷ 131072     		x = 0.446647644042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88369 ÷ 217
    88369 ÷ 131072     		y = 0.674201965332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446647644042969 × 2 - 1) × π
    -0.106704711914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.33522274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674201965332031 × 2 - 1) × π
    -0.348403930664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.09454322902474
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33522274} λ = -0.33522274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09454322902474))-π/2
    2×atan(0.334692449835576)-π/2
    2×0.322973260099243-π/2
    0.645946520198487-1.57079632675     		φ = -0.92484981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33522274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.206848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92484981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.989991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58543 KachelY 88369 -0.33522274 -0.92484981 -19.206848 -52.989991
    Oben rechts KachelX + 1 58544 KachelY 88369 -0.33517480 -0.92484981 -19.204101 -52.989991
    Unten links KachelX 58543 KachelY + 1 88370 -0.33522274 -0.92487866 -19.206848 -52.991644
    Unten rechts KachelX + 1 58544 KachelY + 1 88370 -0.33517480 -0.92487866 -19.204101 -52.991644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92484981--0.92487866) × R
    2.88499999999692e-05 × 6371000     		dl = 183.803349999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92484981--0.92487866) × R
    2.88499999999692e-05 × 6371000     		dr = 183.803349999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33522274--0.33517480) × cos(-0.92484981) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.601954530446284 × 6371000     		do = 183.852407908001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33522274--0.33517480) × cos(-0.92487866) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.601931492594757 × 6371000     		du = 183.845371555151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92484981)-sin(-0.92487866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601954530446284-0.601931492594757)×R²
    abs(-0.33517480--0.33522274)×2.30378515271301e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30378515271301e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30378515271301e-05×40589641000000     		ar = 33792.0418287241m²