Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58542 / 87955
↖ ↑ ↗
← S 52.300081°
W 19.209595°		 ← 186.78 m → S 52.300081°
W 19.206848°		 →
↑
186.73 m
↓
↑
186.73 m
↓
S 52.301761°
W 19.209595°		 ← 186.77 m →
34 877 m²		 S 52.301761°
W 19.206848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446643829345703 y=0.671047210693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446643829345703 × 217)
    floor (0.446643829345703 × 131072)
    floor (58542.5)     		tx = 58542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671047210693359 × 217)
    floor (0.671047210693359 × 131072)
    floor (87955.5)     		ty = 87955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58542 / 87955 ti = "17/58542/87955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58542/87955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58542 ÷ 217
    58542 ÷ 131072     		x = 0.446640014648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87955 ÷ 217
    87955 ÷ 131072     		y = 0.671043395996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446640014648438 × 2 - 1) × π
    -0.106719970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33527068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671043395996094 × 2 - 1) × π
    -0.342086791992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.07469735258204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33527068} λ = -0.33527068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07469735258204))-π/2
    2×atan(0.341401063817631)-π/2
    2×0.328993853752981-π/2
    0.657987707505963-1.57079632675     		φ = -0.91280862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33527068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.209595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91280862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.300081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58542 KachelY 87955 -0.33527068 -0.91280862 -19.209595 -52.300081
    Oben rechts KachelX + 1 58543 KachelY 87955 -0.33522274 -0.91280862 -19.206848 -52.300081
    Unten links KachelX 58542 KachelY + 1 87956 -0.33527068 -0.91283793 -19.209595 -52.301761
    Unten rechts KachelX + 1 58543 KachelY + 1 87956 -0.33522274 -0.91283793 -19.206848 -52.301761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91280862--0.91283793) × R
    2.93100000000601e-05 × 6371000     		dl = 186.734010000383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91280862--0.91283793) × R
    2.93100000000601e-05 × 6371000     		dr = 186.734010000383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33527068--0.33522274) × cos(-0.91280862) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.611525915692817 × 6371000     		do = 186.775755329534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33527068--0.33522274) × cos(-0.91283793) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.611502724642922 × 6371000     		du = 186.768672185958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91280862)-sin(-0.91283793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611525915692817-0.611502724642922)×R²
    abs(-0.33522274--0.33527068)×2.31910498951216e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31910498951216e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31910498951216e-05×40589641000000     		ar = 34876.7244342707m²