Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58540 / 86976
↖ ↑ ↗
← S 50.625073°
W 19.215088°		 ← 193.76 m → S 50.625073°
W 19.212341°		 →
↑
193.74 m
↓
↑
193.74 m
↓
S 50.626815°
W 19.215088°		 ← 193.75 m →
37 539 m²		 S 50.626815°
W 19.212341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446628570556641 y=0.663578033447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446628570556641 × 217)
    floor (0.446628570556641 × 131072)
    floor (58540.5)     		tx = 58540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663578033447266 × 217)
    floor (0.663578033447266 × 131072)
    floor (86976.5)     		ty = 86976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58540 / 86976 ti = "17/58540/86976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58540/86976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58540 ÷ 217
    58540 ÷ 131072     		x = 0.446624755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86976 ÷ 217
    86976 ÷ 131072     		y = 0.66357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446624755859375 × 2 - 1) × π
    -0.10675048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33536655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66357421875 × 2 - 1) × π
    -0.3271484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.027767127854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33536655} λ = -0.33536655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.027767127854))-π/2
    2×atan(0.357805002098112)-π/2
    2×0.34361105889713-π/2
    0.68722211779426-1.57079632675     		φ = -0.88357421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33536655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.215088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88357421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.625073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58540 KachelY 86976 -0.33536655 -0.88357421 -19.215088 -50.625073
    Oben rechts KachelX + 1 58541 KachelY 86976 -0.33531861 -0.88357421 -19.212341 -50.625073
    Unten links KachelX 58540 KachelY + 1 86977 -0.33536655 -0.88360462 -19.215088 -50.626815
    Unten rechts KachelX + 1 58541 KachelY + 1 86977 -0.33531861 -0.88360462 -19.212341 -50.626815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88357421--0.88360462) × R
    3.04099999999252e-05 × 6371000     		dl = 193.742109999524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88357421--0.88360462) × R
    3.04099999999252e-05 × 6371000     		dr = 193.742109999524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33536655--0.33531861) × cos(-0.88357421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.634392297664295 × 6371000     		do = 193.75973696429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33536655--0.33531861) × cos(-0.88360462) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.634368790098459 × 6371000     		du = 193.752557148599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88357421)-sin(-0.88360462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634392297664295-0.634368790098459)×R²
    abs(-0.33531861--0.33536655)×2.35075658358008e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35075658358008e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35075658358008e-05×40589641000000     		ar = 37538.7247590884m²