Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58534 / 87946
↖ ↑ ↗
← S 52.284962°
W 19.231567°		 ← 186.84 m → S 52.284962°
W 19.228821°		 →
↑
186.86 m
↓
↑
186.86 m
↓
S 52.286643°
W 19.231567°		 ← 186.83 m →
34 912 m²		 S 52.286643°
W 19.228821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446582794189453 y=0.670978546142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446582794189453 × 217)
    floor (0.446582794189453 × 131072)
    floor (58534.5)     		tx = 58534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670978546142578 × 217)
    floor (0.670978546142578 × 131072)
    floor (87946.5)     		ty = 87946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58534 / 87946 ti = "17/58534/87946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58534/87946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58534 ÷ 217
    58534 ÷ 131072     		x = 0.446578979492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87946 ÷ 217
    87946 ÷ 131072     		y = 0.670974731445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446578979492188 × 2 - 1) × π
    -0.106842041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33565417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670974731445312 × 2 - 1) × π
    -0.341949462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.07426592048546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33565417} λ = -0.33565417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07426592048546))-π/2
    2×atan(0.341548386972052)-π/2
    2×0.329125792223483-π/2
    0.658251584446966-1.57079632675     		φ = -0.91254474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33565417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.231567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91254474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.284962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58534 KachelY 87946 -0.33565417 -0.91254474 -19.231567 -52.284962
    Oben rechts KachelX + 1 58535 KachelY 87946 -0.33560623 -0.91254474 -19.228821 -52.284962
    Unten links KachelX 58534 KachelY + 1 87947 -0.33565417 -0.91257407 -19.231567 -52.286643
    Unten rechts KachelX + 1 58535 KachelY + 1 87947 -0.33560623 -0.91257407 -19.228821 -52.286643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91254474--0.91257407) × R
    2.93300000000496e-05 × 6371000     		dl = 186.861430000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91254474--0.91257407) × R
    2.93300000000496e-05 × 6371000     		dr = 186.861430000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33565417--0.33560623) × cos(-0.91254474) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.611734682694527 × 6371000     		do = 186.839518145519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33565417--0.33560623) × cos(-0.91257407) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.611711480553469 × 6371000     		du = 186.832431614416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91254474)-sin(-0.91257407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611734682694527-0.611711480553469)×R²
    abs(-0.33560623--0.33565417)×2.32021410574434e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32021410574434e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32021410574434e-05×40589641000000     		ar = 34912.4374440088m²