Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58530 / 87986
↖ ↑ ↗
← S 52.352119°
W 19.242554°		 ← 186.56 m → S 52.352119°
W 19.239807°		 →
↑
186.54 m
↓
↑
186.54 m
↓
S 52.353796°
W 19.242554°		 ← 186.55 m →
34 800 m²		 S 52.353796°
W 19.239807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446552276611328 y=0.671283721923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446552276611328 × 217)
    floor (0.446552276611328 × 131072)
    floor (58530.5)     		tx = 58530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671283721923828 × 217)
    floor (0.671283721923828 × 131072)
    floor (87986.5)     		ty = 87986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58530 / 87986 ti = "17/58530/87986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58530/87986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58530 ÷ 217
    58530 ÷ 131072     		x = 0.446548461914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87986 ÷ 217
    87986 ÷ 131072     		y = 0.671279907226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446548461914062 × 2 - 1) × π
    -0.106903076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33584592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671279907226562 × 2 - 1) × π
    -0.342559814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.07618339647026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33584592} λ = -0.33584592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07618339647026))-π/2
    2×atan(0.340894103629151)-π/2
    2×0.328539743662615-π/2
    0.65707948732523-1.57079632675     		φ = -0.91371684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33584592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.242554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91371684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.352119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58530 KachelY 87986 -0.33584592 -0.91371684 -19.242554 -52.352119
    Oben rechts KachelX + 1 58531 KachelY 87986 -0.33579798 -0.91371684 -19.239807 -52.352119
    Unten links KachelX 58530 KachelY + 1 87987 -0.33584592 -0.91374612 -19.242554 -52.353796
    Unten rechts KachelX + 1 58531 KachelY + 1 87987 -0.33579798 -0.91374612 -19.239807 -52.353796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91371684--0.91374612) × R
    2.92800000000204e-05 × 6371000     		dl = 186.54288000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91371684--0.91374612) × R
    2.92800000000204e-05 × 6371000     		dr = 186.54288000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33584592--0.33579798) × cos(-0.91371684) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.610807057752451 × 6371000     		do = 186.556197611359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33584592--0.33579798) × cos(-0.91374612) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.610783874187577 × 6371000     		du = 186.549116753901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91371684)-sin(-0.91374612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610807057752451-0.610783874187577)×R²
    abs(-0.33579798--0.33584592)×2.31835648742962e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31835648742962e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31835648742962e-05×40589641000000     		ar = 34800.069944857m²