Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58529 / 88433
↖ ↑ ↗
← S 53.095673°
W 19.245301°		 ← 183.40 m → S 53.095673°
W 19.242554°		 →
↑
183.36 m
↓
↑
183.36 m
↓
S 53.097322°
W 19.245301°		 ← 183.40 m →
33 628 m²		 S 53.097322°
W 19.242554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446544647216797 y=0.674694061279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446544647216797 × 217)
    floor (0.446544647216797 × 131072)
    floor (58529.5)     		tx = 58529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674694061279297 × 217)
    floor (0.674694061279297 × 131072)
    floor (88433.5)     		ty = 88433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58529 / 88433 ti = "17/58529/88433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58529/88433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58529 ÷ 217
    58529 ÷ 131072     		x = 0.446540832519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88433 ÷ 217
    88433 ÷ 131072     		y = 0.674690246582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446540832519531 × 2 - 1) × π
    -0.106918334960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.33589386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674690246582031 × 2 - 1) × π
    -0.349380493164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.09761119060043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33589386} λ = -0.33589386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09761119060043))-π/2
    2×atan(0.333667199777871)-π/2
    2×0.322051004094663-π/2
    0.644102008189326-1.57079632675     		φ = -0.92669432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33589386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.245301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92669432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.095673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58529 KachelY 88433 -0.33589386 -0.92669432 -19.245301 -53.095673
    Oben rechts KachelX + 1 58530 KachelY 88433 -0.33584592 -0.92669432 -19.242554 -53.095673
    Unten links KachelX 58529 KachelY + 1 88434 -0.33589386 -0.92672310 -19.245301 -53.097322
    Unten rechts KachelX + 1 58530 KachelY + 1 88434 -0.33584592 -0.92672310 -19.242554 -53.097322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92669432--0.92672310) × R
    2.87800000000615e-05 × 6371000     		dl = 183.357380000392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92669432--0.92672310) × R
    2.87800000000615e-05 × 6371000     		dr = 183.357380000392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33589386--0.33584592) × cos(-0.92669432) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.600480610048841 × 6371000     		do = 183.402234679698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33589386--0.33584592) × cos(-0.92672310) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.600457596180621 × 6371000     		du = 183.395205651967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92669432)-sin(-0.92672310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600480610048841-0.600457596180621)×R²
    abs(-0.33584592--0.33589386)×2.3013868219679e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3013868219679e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3013868219679e-05×40589641000000     		ar = 33627.5088274977m²