Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58523 / 88110
↖ ↑ ↗
← S 52.559656°
W 19.261780°		 ← 185.68 m → S 52.559656°
W 19.259033°		 →
↑
185.65 m
↓
↑
185.65 m
↓
S 52.561326°
W 19.261780°		 ← 185.67 m →
34 471 m²		 S 52.561326°
W 19.259033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446498870849609 y=0.672229766845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446498870849609 × 217)
    floor (0.446498870849609 × 131072)
    floor (58523.5)     		tx = 58523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672229766845703 × 217)
    floor (0.672229766845703 × 131072)
    floor (88110.5)     		ty = 88110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58523 / 88110 ti = "17/58523/88110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58523/88110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58523 ÷ 217
    58523 ÷ 131072     		x = 0.446495056152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88110 ÷ 217
    88110 ÷ 131072     		y = 0.672225952148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446495056152344 × 2 - 1) × π
    -0.107009887695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.33618148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672225952148438 × 2 - 1) × π
    -0.344451904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.08212757202315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33618148} λ = -0.33618148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08212757202315))-π/2
    2×atan(0.338873779760819)-π/2
    2×0.326728640745181-π/2
    0.653457281490362-1.57079632675     		φ = -0.91733905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33618148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.261780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91733905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.559656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58523 KachelY 88110 -0.33618148 -0.91733905 -19.261780 -52.559656
    Oben rechts KachelX + 1 58524 KachelY 88110 -0.33613354 -0.91733905 -19.259033 -52.559656
    Unten links KachelX 58523 KachelY + 1 88111 -0.33618148 -0.91736819 -19.261780 -52.561326
    Unten rechts KachelX + 1 58524 KachelY + 1 88111 -0.33613354 -0.91736819 -19.259033 -52.561326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91733905--0.91736819) × R
    2.91399999999831e-05 × 6371000     		dl = 185.650939999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91733905--0.91736819) × R
    2.91399999999831e-05 × 6371000     		dr = 185.650939999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33618148--0.33613354) × cos(-0.91733905) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.607935065475477 × 6371000     		do = 185.679017244674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33618148--0.33613354) × cos(-0.91736819) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.607911928443529 × 6371000     		du = 185.67195059957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91733905)-sin(-0.91736819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607935065475477-0.607911928443529)×R²
    abs(-0.33613354--0.33618148)×2.31370319473401e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31370319473401e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31370319473401e-05×40589641000000     		ar = 34470.8281275883m²