Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58521 / 88109
↖ ↑ ↗
← S 52.557986°
W 19.267273°		 ← 185.69 m → S 52.557986°
W 19.264526°		 →
↑
185.71 m
↓
↑
185.71 m
↓
S 52.559656°
W 19.267273°		 ← 185.68 m →
34 484 m²		 S 52.559656°
W 19.264526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446483612060547 y=0.672222137451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446483612060547 × 217)
    floor (0.446483612060547 × 131072)
    floor (58521.5)     		tx = 58521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672222137451172 × 217)
    floor (0.672222137451172 × 131072)
    floor (88109.5)     		ty = 88109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58521 / 88109 ti = "17/58521/88109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58521/88109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58521 ÷ 217
    58521 ÷ 131072     		x = 0.446479797363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88109 ÷ 217
    88109 ÷ 131072     		y = 0.672218322753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446479797363281 × 2 - 1) × π
    -0.107040405273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.33627735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672218322753906 × 2 - 1) × π
    -0.344436645507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.08207963512353
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33627735} λ = -0.33627735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08207963512353))-π/2
    2×atan(0.338890024708546)-π/2
    2×0.326743212283677-π/2
    0.653486424567354-1.57079632675     		φ = -0.91730990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33627735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.267273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91730990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.557986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58521 KachelY 88109 -0.33627735 -0.91730990 -19.267273 -52.557986
    Oben rechts KachelX + 1 58522 KachelY 88109 -0.33622941 -0.91730990 -19.264526 -52.557986
    Unten links KachelX 58521 KachelY + 1 88110 -0.33627735 -0.91733905 -19.267273 -52.559656
    Unten rechts KachelX + 1 58522 KachelY + 1 88110 -0.33622941 -0.91733905 -19.264526 -52.559656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91730990--0.91733905) × R
    2.91500000000333e-05 × 6371000     		dl = 185.714650000212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91730990--0.91733905) × R
    2.91500000000333e-05 × 6371000     		dr = 185.714650000212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33627735--0.33622941) × cos(-0.91730990) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.607958209930893 × 6371000     		do = 185.686086157096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33627735--0.33622941) × cos(-0.91733905) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.607935065475477 × 6371000     		du = 185.679017244674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91730990)-sin(-0.91733905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607958209930893-0.607935065475477)×R²
    abs(-0.33622941--0.33627735)×2.31444554159577e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31444554159577e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31444554159577e-05×40589641000000     		ar = 34483.9701027133m²