Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58520 / 88422
↖ ↑ ↗
← S 53.077527°
W 19.270020°		 ← 183.48 m → S 53.077527°
W 19.267273°		 →
↑
183.48 m
↓
↑
183.48 m
↓
S 53.079177°
W 19.270020°		 ← 183.47 m →
33 665 m²		 S 53.079177°
W 19.267273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446475982666016 y=0.674610137939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446475982666016 × 217)
    floor (0.446475982666016 × 131072)
    floor (58520.5)     		tx = 58520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674610137939453 × 217)
    floor (0.674610137939453 × 131072)
    floor (88422.5)     		ty = 88422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58520 / 88422 ti = "17/58520/88422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58520/88422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58520 ÷ 217
    58520 ÷ 131072     		x = 0.44647216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88422 ÷ 217
    88422 ÷ 131072     		y = 0.674606323242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44647216796875 × 2 - 1) × π
    -0.1070556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33632529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674606323242188 × 2 - 1) × π
    -0.349212646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.09708388470461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33632529} λ = -0.33632529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09708388470461))-π/2
    2×atan(0.333843190856044)-π/2
    2×0.322209355957857-π/2
    0.644418711915713-1.57079632675     		φ = -0.92637761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33632529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.270020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92637761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.077527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58520 KachelY 88422 -0.33632529 -0.92637761 -19.270020 -53.077527
    Oben rechts KachelX + 1 58521 KachelY 88422 -0.33627735 -0.92637761 -19.267273 -53.077527
    Unten links KachelX 58520 KachelY + 1 88423 -0.33632529 -0.92640641 -19.270020 -53.079177
    Unten rechts KachelX + 1 58521 KachelY + 1 88423 -0.33627735 -0.92640641 -19.267273 -53.079177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92637761--0.92640641) × R
    2.8800000000051e-05 × 6371000     		dl = 183.484800000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92637761--0.92640641) × R
    2.8800000000051e-05 × 6371000     		dr = 183.484800000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33632529--0.33627735) × cos(-0.92637761) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.600733833696957 × 6371000     		do = 183.479575700022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33632529--0.33627735) × cos(-0.92640641) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.600710809313788 × 6371000     		du = 183.472543460755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92637761)-sin(-0.92640641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600733833696957-0.600710809313788)×R²
    abs(-0.33627735--0.33632529)×2.30243831693677e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30243831693677e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30243831693677e-05×40589641000000     		ar = 33665.0680994447m²