Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58514 / 88104
↖ ↑ ↗
← S 52.549636°
W 19.286499°		 ← 185.72 m → S 52.549636°
W 19.283752°		 →
↑
185.71 m
↓
↑
185.71 m
↓
S 52.551306°
W 19.286499°		 ← 185.71 m →
34 491 m²		 S 52.551306°
W 19.283752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446430206298828 y=0.672183990478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446430206298828 × 217)
    floor (0.446430206298828 × 131072)
    floor (58514.5)     		tx = 58514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672183990478516 × 217)
    floor (0.672183990478516 × 131072)
    floor (88104.5)     		ty = 88104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58514 / 88104 ti = "17/58514/88104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58514/88104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58514 ÷ 217
    58514 ÷ 131072     		x = 0.446426391601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88104 ÷ 217
    88104 ÷ 131072     		y = 0.67218017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446426391601562 × 2 - 1) × π
    -0.107147216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33661291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67218017578125 × 2 - 1) × π
    -0.3443603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.08183995062543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33661291} λ = -0.33661291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08183995062543))-π/2
    2×atan(0.338971261129196)-π/2
    2×0.32681607829547-π/2
    0.65363215659094-1.57079632675     		φ = -0.91716417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33661291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.286499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91716417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.549636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58514 KachelY 88104 -0.33661291 -0.91716417 -19.286499 -52.549636
    Oben rechts KachelX + 1 58515 KachelY 88104 -0.33656497 -0.91716417 -19.283752 -52.549636
    Unten links KachelX 58514 KachelY + 1 88105 -0.33661291 -0.91719332 -19.286499 -52.551306
    Unten rechts KachelX + 1 58515 KachelY + 1 88105 -0.33656497 -0.91719332 -19.283752 -52.551306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91716417--0.91719332) × R
    2.91500000000333e-05 × 6371000     		dl = 185.714650000212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91716417--0.91719332) × R
    2.91500000000333e-05 × 6371000     		dr = 185.714650000212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33661291--0.33656497) × cos(-0.91716417) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.608073908581034 × 6371000     		do = 185.721423502933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33661291--0.33656497) × cos(-0.91719332) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.608050766708439 × 6371000     		du = 185.714355379371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91716417)-sin(-0.91719332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608073908581034-0.608050766708439)×R²
    abs(-0.33656497--0.33661291)×2.31418725950006e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31418725950006e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31418725950006e-05×40589641000000     		ar = 34490.5328389394m²