Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58514 / 88098
↖ ↑ ↗
← S 52.539614°
W 19.286499°		 ← 185.76 m → S 52.539614°
W 19.283752°		 →
↑
185.71 m
↓
↑
185.71 m
↓
S 52.541285°
W 19.286499°		 ← 185.76 m →
34 498 m²		 S 52.541285°
W 19.283752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446430206298828 y=0.672138214111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446430206298828 × 217)
    floor (0.446430206298828 × 131072)
    floor (58514.5)     		tx = 58514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672138214111328 × 217)
    floor (0.672138214111328 × 131072)
    floor (88098.5)     		ty = 88098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58514 / 88098 ti = "17/58514/88098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58514/88098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58514 ÷ 217
    58514 ÷ 131072     		x = 0.446426391601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88098 ÷ 217
    88098 ÷ 131072     		y = 0.672134399414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446426391601562 × 2 - 1) × π
    -0.107147216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33661291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672134399414062 × 2 - 1) × π
    -0.344268798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.08155232922771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33661291} λ = -0.33661291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08155232922771))-π/2
    2×atan(0.339068770539333)-π/2
    2×0.326903535813266-π/2
    0.653807071626532-1.57079632675     		φ = -0.91698926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33661291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.286499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91698926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.539614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58514 KachelY 88098 -0.33661291 -0.91698926 -19.286499 -52.539614
    Oben rechts KachelX + 1 58515 KachelY 88098 -0.33656497 -0.91698926 -19.283752 -52.539614
    Unten links KachelX 58514 KachelY + 1 88099 -0.33661291 -0.91701841 -19.286499 -52.541285
    Unten rechts KachelX + 1 58515 KachelY + 1 88099 -0.33656497 -0.91701841 -19.283752 -52.541285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91698926--0.91701841) × R
    2.91499999999223e-05 × 6371000     		dl = 185.714649999505m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91698926--0.91701841) × R
    2.91499999999223e-05 × 6371000     		dr = 185.714649999505m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33661291--0.33656497) × cos(-0.91698926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.60821275690308 × 6371000     		do = 185.763831354441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33661291--0.33656497) × cos(-0.91701841) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.608189618131122 × 6371000     		du = 185.756764177894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91698926)-sin(-0.91701841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60821275690308-0.608189618131122)×R²
    abs(-0.33656497--0.33661291)×2.31387719580312e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31387719580312e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31387719580312e-05×40589641000000     		ar = 34498.4086857858m²