Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58511 / 88049
↖ ↑ ↗
← S 52.457683°
W 19.294739°		 ← 186.11 m → S 52.457683°
W 19.291992°		 →
↑
186.10 m
↓
↑
186.10 m
↓
S 52.459357°
W 19.294739°		 ← 186.10 m →
34 634 m²		 S 52.459357°
W 19.291992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446407318115234 y=0.671764373779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446407318115234 × 217)
    floor (0.446407318115234 × 131072)
    floor (58511.5)     		tx = 58511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671764373779297 × 217)
    floor (0.671764373779297 × 131072)
    floor (88049.5)     		ty = 88049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58511 / 88049 ti = "17/58511/88049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58511/88049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58511 ÷ 217
    58511 ÷ 131072     		x = 0.446403503417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88049 ÷ 217
    88049 ÷ 131072     		y = 0.671760559082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446403503417969 × 2 - 1) × π
    -0.107192993164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.33675672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671760559082031 × 2 - 1) × π
    -0.343521118164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.07920342114632
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33675672} λ = -0.33675672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07920342114632))-π/2
    2×atan(0.339866148031196)-π/2
    2×0.327618519841933-π/2
    0.655237039683865-1.57079632675     		φ = -0.91555929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33675672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.294739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91555929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.457683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58511 KachelY 88049 -0.33675672 -0.91555929 -19.294739 -52.457683
    Oben rechts KachelX + 1 58512 KachelY 88049 -0.33670878 -0.91555929 -19.291992 -52.457683
    Unten links KachelX 58511 KachelY + 1 88050 -0.33675672 -0.91558850 -19.294739 -52.459357
    Unten rechts KachelX + 1 58512 KachelY + 1 88050 -0.33670878 -0.91558850 -19.291992 -52.459357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91555929--0.91558850) × R
    2.92100000000017e-05 × 6371000     		dl = 186.096910000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91555929--0.91558850) × R
    2.92100000000017e-05 × 6371000     		dr = 186.096910000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33675672--0.33670878) × cos(-0.91555929) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.609347207753486 × 6371000     		do = 186.110321845136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33675672--0.33670878) × cos(-0.91558850) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.609324046781929 × 6371000     		du = 186.103247888259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91555929)-sin(-0.91558850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609347207753486-0.609324046781929)×R²
    abs(-0.33670878--0.33675672)×2.3160971556635e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3160971556635e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3160971556635e-05×40589641000000     		ar = 34633.8975962736m²