Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58508 / 90267
↖ ↑ ↗
← S 56.015273°
W 19.302978°		 ← 170.72 m → S 56.015273°
W 19.300232°		 →
↑
170.68 m
↓
↑
170.68 m
↓
S 56.016808°
W 19.302978°		 ← 170.72 m →
29 139 m²		 S 56.016808°
W 19.300232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446384429931641 y=0.688686370849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446384429931641 × 217)
    floor (0.446384429931641 × 131072)
    floor (58508.5)     		tx = 58508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688686370849609 × 217)
    floor (0.688686370849609 × 131072)
    floor (90267.5)     		ty = 90267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58508 / 90267 ti = "17/58508/90267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58508/90267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58508 ÷ 217
    58508 ÷ 131072     		x = 0.446380615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90267 ÷ 217
    90267 ÷ 131072     		y = 0.688682556152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446380615234375 × 2 - 1) × π
    -0.10723876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33690053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688682556152344 × 2 - 1) × π
    -0.377365112304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.18552746450361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33690053} λ = -0.33690053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18552746450361))-π/2
    2×atan(0.305584951766603)-π/2
    2×0.296572694868242-π/2
    0.593145389736484-1.57079632675     		φ = -0.97765094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33690053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.302978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97765094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.015273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58508 KachelY 90267 -0.33690053 -0.97765094 -19.302978 -56.015273
    Oben rechts KachelX + 1 58509 KachelY 90267 -0.33685259 -0.97765094 -19.300232 -56.015273
    Unten links KachelX 58508 KachelY + 1 90268 -0.33690053 -0.97767773 -19.302978 -56.016808
    Unten rechts KachelX + 1 58509 KachelY + 1 90268 -0.33685259 -0.97767773 -19.300232 -56.016808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97765094--0.97767773) × R
    2.67900000000543e-05 × 6371000     		dl = 170.679090000346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97765094--0.97767773) × R
    2.67900000000543e-05 × 6371000     		dr = 170.679090000346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33690053--0.33685259) × cos(-0.97765094) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.558971896277568 × 6371000     		do = 170.724405059668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33690053--0.33685259) × cos(-0.97767773) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.558949682167943 × 6371000     		du = 170.717620298797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97765094)-sin(-0.97767773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558971896277568-0.558949682167943)×R²
    abs(-0.33685259--0.33690053)×2.22141096246631e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.22141096246631e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.22141096246631e-05×40589641000000     		ar = 29138.5070898526m²