Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58505 / 89322
↖ ↑ ↗
← S 54.537020°
W 19.311218°		 ← 177.20 m → S 54.537020°
W 19.308471°		 →
↑
177.18 m
↓
↑
177.18 m
↓
S 54.538613°
W 19.311218°		 ← 177.19 m →
31 395 m²		 S 54.538613°
W 19.308471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446361541748047 y=0.681476593017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446361541748047 × 217)
    floor (0.446361541748047 × 131072)
    floor (58505.5)     		tx = 58505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681476593017578 × 217)
    floor (0.681476593017578 × 131072)
    floor (89322.5)     		ty = 89322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58505 / 89322 ti = "17/58505/89322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58505/89322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58505 ÷ 217
    58505 ÷ 131072     		x = 0.446357727050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89322 ÷ 217
    89322 ÷ 131072     		y = 0.681472778320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446357727050781 × 2 - 1) × π
    -0.107284545898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.33704434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681472778320312 × 2 - 1) × π
    -0.362945556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.14022709436266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33704434} λ = -0.33704434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14022709436266))-π/2
    2×atan(0.319746400965584)-π/2
    2×0.309472884945516-π/2
    0.618945769891032-1.57079632675     		φ = -0.95185056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33704434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.311218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95185056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.537020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58505 KachelY 89322 -0.33704434 -0.95185056 -19.311218 -54.537020
    Oben rechts KachelX + 1 58506 KachelY 89322 -0.33699640 -0.95185056 -19.308471 -54.537020
    Unten links KachelX 58505 KachelY + 1 89323 -0.33704434 -0.95187837 -19.311218 -54.538613
    Unten rechts KachelX + 1 58506 KachelY + 1 89323 -0.33699640 -0.95187837 -19.308471 -54.538613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95185056--0.95187837) × R
    2.78099999999615e-05 × 6371000     		dl = 177.177509999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95185056--0.95187837) × R
    2.78099999999615e-05 × 6371000     		dr = 177.177509999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33704434--0.33699640) × cos(-0.95185056) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.580176820118876 × 6371000     		do = 177.200934615744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33704434--0.33699640) × cos(-0.95187837) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.580154168912307 × 6371000     		du = 177.194016354215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95185056)-sin(-0.95187837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580176820118876-0.580154168912307)×R²
    abs(-0.33699640--0.33704434)×2.26512065689688e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.26512065689688e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.26512065689688e-05×40589641000000     		ar = 31395.407486811m²