Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58501 / 88050
↖ ↑ ↗
← S 52.459357°
W 19.322205°		 ← 186.10 m → S 52.459357°
W 19.319458°		 →
↑
186.10 m
↓
↑
186.10 m
↓
S 52.461030°
W 19.322205°		 ← 186.10 m →
34 633 m²		 S 52.461030°
W 19.319458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446331024169922 y=0.671772003173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446331024169922 × 217)
    floor (0.446331024169922 × 131072)
    floor (58501.5)     		tx = 58501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671772003173828 × 217)
    floor (0.671772003173828 × 131072)
    floor (88050.5)     		ty = 88050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58501 / 88050 ti = "17/58501/88050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58501/88050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58501 ÷ 217
    58501 ÷ 131072     		x = 0.446327209472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88050 ÷ 217
    88050 ÷ 131072     		y = 0.671768188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446327209472656 × 2 - 1) × π
    -0.107345581054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.33723609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671768188476562 × 2 - 1) × π
    -0.343536376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.07925135804594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33723609} λ = -0.33723609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07925135804594))-π/2
    2×atan(0.339849856292264)-π/2
    2×0.327603915011476-π/2
    0.655207830022951-1.57079632675     		φ = -0.91558850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33723609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.322205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91558850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.459357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58501 KachelY 88050 -0.33723609 -0.91558850 -19.322205 -52.459357
    Oben rechts KachelX + 1 58502 KachelY 88050 -0.33718815 -0.91558850 -19.319458 -52.459357
    Unten links KachelX 58501 KachelY + 1 88051 -0.33723609 -0.91561771 -19.322205 -52.461030
    Unten rechts KachelX + 1 58502 KachelY + 1 88051 -0.33718815 -0.91561771 -19.319458 -52.461030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91558850--0.91561771) × R
    2.92100000000017e-05 × 6371000     		dl = 186.096910000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91558850--0.91561771) × R
    2.92100000000017e-05 × 6371000     		dr = 186.096910000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33723609--0.33718815) × cos(-0.91558850) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.609324046781929 × 6371000     		do = 186.103247888043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33723609--0.33718815) × cos(-0.91561771) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.609300885290483 × 6371000     		du = 186.096173772379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91558850)-sin(-0.91561771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609324046781929-0.609300885290483)×R²
    abs(-0.33718815--0.33723609)×2.31614914465439e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31614914465439e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31614914465439e-05×40589641000000     		ar = 34632.581139884m²