Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58500 / 89293
↖ ↑ ↗
← S 54.490782°
W 19.324951°		 ← 177.40 m → S 54.490782°
W 19.322205°		 →
↑
177.37 m
↓
↑
177.37 m
↓
S 54.492377°
W 19.324951°		 ← 177.39 m →
31 465 m²		 S 54.492377°
W 19.322205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446323394775391 y=0.681255340576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446323394775391 × 217)
    floor (0.446323394775391 × 131072)
    floor (58500.5)     		tx = 58500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681255340576172 × 217)
    floor (0.681255340576172 × 131072)
    floor (89293.5)     		ty = 89293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58500 / 89293 ti = "17/58500/89293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58500/89293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58500 ÷ 217
    58500 ÷ 131072     		x = 0.446319580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89293 ÷ 217
    89293 ÷ 131072     		y = 0.681251525878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446319580078125 × 2 - 1) × π
    -0.10736083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33728403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681251525878906 × 2 - 1) × π
    -0.362503051757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.13883692427367
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33728403} λ = -0.33728403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13883692427367))-π/2
    2×atan(0.320191211958099)-π/2
    2×0.309876385529126-π/2
    0.619752771058252-1.57079632675     		φ = -0.95104356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33728403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.324951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95104356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.490782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58500 KachelY 89293 -0.33728403 -0.95104356 -19.324951 -54.490782
    Oben rechts KachelX + 1 58501 KachelY 89293 -0.33723609 -0.95104356 -19.322205 -54.490782
    Unten links KachelX 58500 KachelY + 1 89294 -0.33728403 -0.95107140 -19.324951 -54.492377
    Unten rechts KachelX + 1 58501 KachelY + 1 89294 -0.33723609 -0.95107140 -19.322205 -54.492377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95104356--0.95107140) × R
    2.78400000000012e-05 × 6371000     		dl = 177.368640000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95104356--0.95107140) × R
    2.78400000000012e-05 × 6371000     		dr = 177.368640000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33728403--0.33723609) × cos(-0.95104356) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.580833925002278 × 6371000     		do = 177.401631361014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33728403--0.33723609) × cos(-0.95107140) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.580811262402399 × 6371000     		du = 177.394709619676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95104356)-sin(-0.95107140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580833925002278-0.580811262402399)×R²
    abs(-0.33723609--0.33728403)×2.2662599879264e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2662599879264e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2662599879264e-05×40589641000000     		ar = 31464.8722404331m²