Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58498 / 88139
↖ ↑ ↗
← S 52.608051°
W 19.330444°		 ← 185.47 m → S 52.608051°
W 19.327698°		 →
↑
185.46 m
↓
↑
185.46 m
↓
S 52.609719°
W 19.330444°		 ← 185.47 m →
34 397 m²		 S 52.609719°
W 19.327698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446308135986328 y=0.672451019287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446308135986328 × 217)
    floor (0.446308135986328 × 131072)
    floor (58498.5)     		tx = 58498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672451019287109 × 217)
    floor (0.672451019287109 × 131072)
    floor (88139.5)     		ty = 88139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58498 / 88139 ti = "17/58498/88139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58498/88139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58498 ÷ 217
    58498 ÷ 131072     		x = 0.446304321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88139 ÷ 217
    88139 ÷ 131072     		y = 0.672447204589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446304321289062 × 2 - 1) × π
    -0.107391357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33737990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672447204589844 × 2 - 1) × π
    -0.344894409179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.08351774211213
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33737990} λ = -0.33737990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08351774211213))-π/2
    2×atan(0.338403014865709)-π/2
    2×0.326306307344563-π/2
    0.652612614689127-1.57079632675     		φ = -0.91818371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33737990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.330444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91818371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.608051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58498 KachelY 88139 -0.33737990 -0.91818371 -19.330444 -52.608051
    Oben rechts KachelX + 1 58499 KachelY 88139 -0.33733196 -0.91818371 -19.327698 -52.608051
    Unten links KachelX 58498 KachelY + 1 88140 -0.33737990 -0.91821282 -19.330444 -52.609719
    Unten rechts KachelX + 1 58499 KachelY + 1 88140 -0.33733196 -0.91821282 -19.327698 -52.609719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91818371--0.91821282) × R
    2.91100000000544e-05 × 6371000     		dl = 185.459810000346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91818371--0.91821282) × R
    2.91100000000544e-05 × 6371000     		dr = 185.459810000346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33737990--0.33733196) × cos(-0.91818371) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.607264199842789 × 6371000     		do = 185.474117612585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33737990--0.33733196) × cos(-0.91821282) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.607241071691566 × 6371000     		du = 185.467053679883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91818371)-sin(-0.91821282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607264199842789-0.607241071691566)×R²
    abs(-0.33733196--0.33737990)×2.31281512221848e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31281512221848e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31281512221848e-05×40589641000000     		ar = 34397.3395769065m²