Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58494 / 89250
↖ ↑ ↗
← S 54.422126°
W 19.341431°		 ← 177.70 m → S 54.422126°
W 19.338684°		 →
↑
177.69 m
↓
↑
177.69 m
↓
S 54.423724°
W 19.341431°		 ← 177.69 m →
31 574 m²		 S 54.423724°
W 19.338684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446277618408203 y=0.680927276611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446277618408203 × 217)
    floor (0.446277618408203 × 131072)
    floor (58494.5)     		tx = 58494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680927276611328 × 217)
    floor (0.680927276611328 × 131072)
    floor (89250.5)     		ty = 89250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58494 / 89250 ti = "17/58494/89250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58494/89250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58494 ÷ 217
    58494 ÷ 131072     		x = 0.446273803710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89250 ÷ 217
    89250 ÷ 131072     		y = 0.680923461914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446273803710938 × 2 - 1) × π
    -0.107452392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33757165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680923461914062 × 2 - 1) × π
    -0.361846923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.13677563759001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33757165} λ = -0.33757165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13677563759001))-π/2
    2×atan(0.320851898537826)-π/2
    2×0.310475520520597-π/2
    0.620951041041195-1.57079632675     		φ = -0.94984529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33757165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.341431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94984529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.422126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58494 KachelY 89250 -0.33757165 -0.94984529 -19.341431 -54.422126
    Oben rechts KachelX + 1 58495 KachelY 89250 -0.33752371 -0.94984529 -19.338684 -54.422126
    Unten links KachelX 58494 KachelY + 1 89251 -0.33757165 -0.94987318 -19.341431 -54.423724
    Unten rechts KachelX + 1 58495 KachelY + 1 89251 -0.33752371 -0.94987318 -19.338684 -54.423724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94984529--0.94987318) × R
    2.78900000000304e-05 × 6371000     		dl = 177.687190000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94984529--0.94987318) × R
    2.78900000000304e-05 × 6371000     		dr = 177.687190000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33757165--0.33752371) × cos(-0.94984529) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.581808926014782 × 6371000     		do = 177.699421766759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33757165--0.33752371) × cos(-0.94987318) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.581786242140229 × 6371000     		du = 177.692493527588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94984529)-sin(-0.94987318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581808926014782-0.581786242140229)×R²
    abs(-0.33752371--0.33757165)×2.26838745526203e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.26838745526203e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.26838745526203e-05×40589641000000     		ar = 31574.2953909027m²