Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58494 / 88138
↖ ↑ ↗
← S 52.606384°
W 19.341431°		 ← 185.48 m → S 52.606384°
W 19.338684°		 →
↑
185.46 m
↓
↑
185.46 m
↓
S 52.608051°
W 19.341431°		 ← 185.47 m →
34 399 m²		 S 52.608051°
W 19.338684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446277618408203 y=0.672443389892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446277618408203 × 217)
    floor (0.446277618408203 × 131072)
    floor (58494.5)     		tx = 58494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672443389892578 × 217)
    floor (0.672443389892578 × 131072)
    floor (88138.5)     		ty = 88138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58494 / 88138 ti = "17/58494/88138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58494/88138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58494 ÷ 217
    58494 ÷ 131072     		x = 0.446273803710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88138 ÷ 217
    88138 ÷ 131072     		y = 0.672439575195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446273803710938 × 2 - 1) × π
    -0.107452392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33757165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672439575195312 × 2 - 1) × π
    -0.344879150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.08346980521251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33757165} λ = -0.33757165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08346980521251))-π/2
    2×atan(0.338419237245886)-π/2
    2×0.326320862803194-π/2
    0.652641725606387-1.57079632675     		φ = -0.91815460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33757165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.341431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91815460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.606384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58494 KachelY 88138 -0.33757165 -0.91815460 -19.341431 -52.606384
    Oben rechts KachelX + 1 58495 KachelY 88138 -0.33752371 -0.91815460 -19.338684 -52.606384
    Unten links KachelX 58494 KachelY + 1 88139 -0.33757165 -0.91818371 -19.341431 -52.608051
    Unten rechts KachelX + 1 58495 KachelY + 1 88139 -0.33752371 -0.91818371 -19.338684 -52.608051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91815460--0.91818371) × R
    2.91099999999433e-05 × 6371000     		dl = 185.459809999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91815460--0.91818371) × R
    2.91099999999433e-05 × 6371000     		dr = 185.459809999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33757165--0.33752371) × cos(-0.91815460) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.60728732747942 × 6371000     		do = 185.481181388117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33757165--0.33752371) × cos(-0.91818371) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.607264199842789 × 6371000     		du = 185.474117612585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91815460)-sin(-0.91818371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60728732747942-0.607264199842789)×R²
    abs(-0.33752371--0.33757165)×2.31276366311484e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31276366311484e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31276366311484e-05×40589641000000     		ar = 34398.6496379814m²