Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58492 / 88122
↖ ↑ ↗
← S 52.579688°
W 19.346924°		 ← 185.59 m → S 52.579688°
W 19.344177°		 →
↑
185.52 m
↓
↑
185.52 m
↓
S 52.581357°
W 19.346924°		 ← 185.59 m →
34 431 m²		 S 52.581357°
W 19.344177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446262359619141 y=0.672321319580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446262359619141 × 217)
    floor (0.446262359619141 × 131072)
    floor (58492.5)     		tx = 58492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672321319580078 × 217)
    floor (0.672321319580078 × 131072)
    floor (88122.5)     		ty = 88122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58492 / 88122 ti = "17/58492/88122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58492/88122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58492 ÷ 217
    58492 ÷ 131072     		x = 0.446258544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88122 ÷ 217
    88122 ÷ 131072     		y = 0.672317504882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446258544921875 × 2 - 1) × π
    -0.10748291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33766752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672317504882812 × 2 - 1) × π
    -0.344635009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.08270281481859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33766752} λ = -0.33766752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08270281481859))-π/2
    2×atan(0.338678901117089)-π/2
    2×0.32655382553958-π/2
    0.653107651079161-1.57079632675     		φ = -0.91768868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33766752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.346924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91768868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.579688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58492 KachelY 88122 -0.33766752 -0.91768868 -19.346924 -52.579688
    Oben rechts KachelX + 1 58493 KachelY 88122 -0.33761958 -0.91768868 -19.344177 -52.579688
    Unten links KachelX 58492 KachelY + 1 88123 -0.33766752 -0.91771780 -19.346924 -52.581357
    Unten rechts KachelX + 1 58493 KachelY + 1 88123 -0.33761958 -0.91771780 -19.344177 -52.581357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91768868--0.91771780) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dl = 185.523519999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91768868--0.91771780) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dr = 185.523519999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33766752--0.33761958) × cos(-0.91768868) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.607657426737056 × 6371000     		do = 185.594219227754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33766752--0.33761958) × cos(-0.91771780) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.607634299397205 × 6371000     		du = 185.587155542866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91768868)-sin(-0.91771780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607657426737056-0.607634299397205)×R²
    abs(-0.33761958--0.33766752)×2.31273398513254e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31273398513254e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31273398513254e-05×40589641000000     		ar = 34431.4376053679m²