Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58491 / 88142
↖ ↑ ↗
← S 52.613055°
W 19.349671°		 ← 185.45 m → S 52.613055°
W 19.346924°		 →
↑
185.40 m
↓
↑
185.40 m
↓
S 52.614722°
W 19.349671°		 ← 185.45 m →
34 382 m²		 S 52.614722°
W 19.346924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446254730224609 y=0.672473907470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446254730224609 × 217)
    floor (0.446254730224609 × 131072)
    floor (58491.5)     		tx = 58491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672473907470703 × 217)
    floor (0.672473907470703 × 131072)
    floor (88142.5)     		ty = 88142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58491 / 88142 ti = "17/58491/88142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58491/88142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58491 ÷ 217
    58491 ÷ 131072     		x = 0.446250915527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88142 ÷ 217
    88142 ÷ 131072     		y = 0.672470092773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446250915527344 × 2 - 1) × π
    -0.107498168945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.33771546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672470092773438 × 2 - 1) × π
    -0.344940185546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.08366155281099
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33771546} λ = -0.33771546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08366155281099))-π/2
    2×atan(0.338354352390821)-π/2
    2×0.326262644294718-π/2
    0.652525288589436-1.57079632675     		φ = -0.91827104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33771546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.349671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91827104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.613055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58491 KachelY 88142 -0.33771546 -0.91827104 -19.349671 -52.613055
    Oben rechts KachelX + 1 58492 KachelY 88142 -0.33766752 -0.91827104 -19.346924 -52.613055
    Unten links KachelX 58491 KachelY + 1 88143 -0.33771546 -0.91830014 -19.349671 -52.614722
    Unten rechts KachelX + 1 58492 KachelY + 1 88143 -0.33766752 -0.91830014 -19.346924 -52.614722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91827104--0.91830014) × R
    2.91000000000041e-05 × 6371000     		dl = 185.396100000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91827104--0.91830014) × R
    2.91000000000041e-05 × 6371000     		dr = 185.396100000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33771546--0.33766752) × cos(-0.91827104) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.607194813845428 × 6371000     		do = 185.452925342995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33771546--0.33766752) × cos(-0.91830014) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.607171692096257 × 6371000     		du = 185.445863365645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91827104)-sin(-0.91830014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607194813845428-0.607171692096257)×R²
    abs(-0.33766752--0.33771546)×2.31217491705182e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31217491705182e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31217491705182e-05×40589641000000     		ar = 34381.5944631977m²