Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58490 / 88097
↖ ↑ ↗
← S 52.537944°
W 19.352417°		 ← 185.73 m → S 52.537944°
W 19.349671°		 →
↑
185.78 m
↓
↑
185.78 m
↓
S 52.539614°
W 19.352417°		 ← 185.73 m →
34 504 m²		 S 52.539614°
W 19.349671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446247100830078 y=0.672130584716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446247100830078 × 217)
    floor (0.446247100830078 × 131072)
    floor (58490.5)     		tx = 58490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672130584716797 × 217)
    floor (0.672130584716797 × 131072)
    floor (88097.5)     		ty = 88097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58490 / 88097 ti = "17/58490/88097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58490/88097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58490 ÷ 217
    58490 ÷ 131072     		x = 0.446243286132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88097 ÷ 217
    88097 ÷ 131072     		y = 0.672126770019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446243286132812 × 2 - 1) × π
    -0.107513427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33776339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672126770019531 × 2 - 1) × π
    -0.344253540039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.08150439232809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33776339} λ = -0.33776339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08150439232809))-π/2
    2×atan(0.339085024834538)-π/2
    2×0.32691811400765-π/2
    0.6538362280153-1.57079632675     		φ = -0.91696010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33776339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.352417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91696010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.537944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58490 KachelY 88097 -0.33776339 -0.91696010 -19.352417 -52.537944
    Oben rechts KachelX + 1 58491 KachelY 88097 -0.33771546 -0.91696010 -19.349671 -52.537944
    Unten links KachelX 58490 KachelY + 1 88098 -0.33776339 -0.91698926 -19.352417 -52.539614
    Unten rechts KachelX + 1 58491 KachelY + 1 88098 -0.33771546 -0.91698926 -19.349671 -52.539614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91696010--0.91698926) × R
    2.91600000000836e-05 × 6371000     		dl = 185.778360000532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91696010--0.91698926) × R
    2.91600000000836e-05 × 6371000     		dr = 185.778360000532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33776339--0.33771546) × cos(-0.91696010) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.608235903095789 × 6371000     		do = 185.732150088112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33776339--0.33771546) × cos(-0.91698926) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.60821275690308 × 6371000     		du = 185.72508211972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91696010)-sin(-0.91698926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608235903095789-0.60821275690308)×R²
    abs(-0.33771546--0.33776339)×2.31461927093779e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.31461927093779e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.31461927093779e-05×40589641000000     		ar = 34504.3577074895m²