Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58489 / 88146
↖ ↑ ↗
← S 52.619725°
W 19.355163°		 ← 185.42 m → S 52.619725°
W 19.352417°		 →
↑
185.40 m
↓
↑
185.40 m
↓
S 52.621393°
W 19.355163°		 ← 185.42 m →
34 376 m²		 S 52.621393°
W 19.352417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446239471435547 y=0.672504425048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446239471435547 × 217)
    floor (0.446239471435547 × 131072)
    floor (58489.5)     		tx = 58489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672504425048828 × 217)
    floor (0.672504425048828 × 131072)
    floor (88146.5)     		ty = 88146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58489 / 88146 ti = "17/58489/88146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58489/88146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58489 ÷ 217
    58489 ÷ 131072     		x = 0.446235656738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88146 ÷ 217
    88146 ÷ 131072     		y = 0.672500610351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446235656738281 × 2 - 1) × π
    -0.107528686523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.33781133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672500610351562 × 2 - 1) × π
    -0.345001220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.08385330040947
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33781133} λ = -0.33781133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08385330040947))-π/2
    2×atan(0.338289479976078)-π/2
    2×0.326204434655368-π/2
    0.652408869310736-1.57079632675     		φ = -0.91838746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33781133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.355163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91838746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.619725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58489 KachelY 88146 -0.33781133 -0.91838746 -19.355163 -52.619725
    Oben rechts KachelX + 1 58490 KachelY 88146 -0.33776339 -0.91838746 -19.352417 -52.619725
    Unten links KachelX 58489 KachelY + 1 88147 -0.33781133 -0.91841656 -19.355163 -52.621393
    Unten rechts KachelX + 1 58490 KachelY + 1 88147 -0.33776339 -0.91841656 -19.352417 -52.621393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91838746--0.91841656) × R
    2.91000000000041e-05 × 6371000     		dl = 185.396100000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91838746--0.91841656) × R
    2.91000000000041e-05 × 6371000     		dr = 185.396100000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33781133--0.33776339) × cos(-0.91838746) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.607102307871396 × 6371000     		do = 185.424671637422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33781133--0.33776339) × cos(-0.91841656) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.607079184065354 × 6371000     		du = 185.41760903185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91838746)-sin(-0.91841656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607102307871396-0.607079184065354)×R²
    abs(-0.33776339--0.33781133)×2.31238060426353e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31238060426353e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31238060426353e-05×40589641000000     		ar = 34376.3562779246m²